İndirgenebilen polinom

Question

$f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}+x+2$ 

olmak üzere f, R[x] polinom halkasında indirgenebilir midir?

Comments

$\begin{align*} & \alpha \in \mathbb{R} \\ & \beta \in \mathbb{R} \end{align*}$

$\overline {\beta }\in \mathbb{C}$

olmak üzere kökü vardır f polinomunun. Ama biz R[x] halkasında çalışıyoruz. Köklerimizden sadece bir tanesi reel olduğundan indirgenemezdir mi demeliyiz?

---

Tek dereceli polinomlarin en az bir reel koku vardir. Bu nedenle indirgenir. Ayrica, turevini alip artan oldugunu gostermek de maksimum bir reel kok olacagini verir. Bu da fonksiyonu $$f(x)=(x-r)(x-z)(x-\bar z)=(x-r)(x^2-(z+\bar z)x+z\bar z)$$ olarak $\mathbb R[x]$ icerisinde indirger.

---

Ben de sana katılıyorum ancak kafamı karıştıran örnek şu:

$x^{3}+1=\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right)$

$\begin{align*} & x=-1\in Q\\ & x_{2,3}^{1}=\dfrac {1\pm \sqrt {3}i} {2}\in \mathbb{C} \end{align*}$

olduğundan bu polinom Q[x] de indirgenemezdir. 

Acaba

$X_{2,3}\in \mathbb{R}$

olsaydı indirgenebilir mi diyecektik?

---

Indirgenmis iste. Yani indirgenmenin tanimi nedir, bu onemli. Katsayilari $K$ cisminden olan bir polinomu kat sayilari yine $K$ cisminde olan daha kucuk dereceli polinomlarin carpimi olarak yazabiliyorsak bu durumda o polinom $K[x]$ uzerinde indirgenir.

$x+1$ ve $x^2-x+1$ polinomlari $\mathbb Q[x]$ icerisinde.