Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.2k kez görüntülendi

$f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}+x+2$ 

olmak üzere f, R[x] polinom halkasında indirgenebilir midir?

Lisans Matematik kategorisinde (138 puan) tarafından  | 2.2k kez görüntülendi
$\begin{align*} & \alpha \in \mathbb{R} \\ & \beta \in \mathbb{R} \end{align*}$
$\overline {\beta }\in \mathbb{C}$
olmak üzere kökü vardır f polinomunun. Ama biz R[x] halkasında çalışıyoruz. Köklerimizden sadece bir tanesi reel olduğundan indirgenemezdir mi demeliyiz?
Tek dereceli polinomlarin en az bir reel koku vardir. Bu nedenle indirgenir. Ayrica, turevini alip artan oldugunu gostermek de maksimum bir reel kok olacagini verir. Bu da fonksiyonu $$f(x)=(x-r)(x-z)(x-\bar z)=(x-r)(x^2-(z+\bar z)x+z\bar z)$$ olarak $\mathbb R[x]$ icerisinde indirger.

Ben de sana katılıyorum ancak kafamı karıştıran örnek şu:


$x^{3}+1=\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right)$

$\begin{align*} & x=-1\in Q\\ & x_{2,3}^{1}=\dfrac {1\pm \sqrt {3}i} {2}\in \mathbb{C} \end{align*}$

olduğundan bu polinom Q[x] de indirgenemezdir. 

Acaba

$X_{2,3}\in \mathbb{R}$

olsaydı indirgenebilir mi diyecektik?

Indirgenmis iste. Yani indirgenmenin tanimi nedir, bu onemli. Katsayilari $K$ cisminden olan bir polinomu kat sayilari yine $K$ cisminde olan daha kucuk dereceli polinomlarin carpimi olarak yazabiliyorsak bu durumda o polinom $K[x]$ uzerinde indirgenir.

$x+1$ ve $x^2-x+1$ polinomlari $\mathbb Q[x]$ icerisinde.

20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,529,813 kullanıcı