Öncelikle, reel sayıları sıralama şeklinde teker teker tanımlamıyoruz. Yani önce $(0,1)$ aralığı sonra diğerleri şeklinde olmuyor. Reel sayıları aksiyomatik olarak tanımlarız. 16 tane aksiyom yeterlidir bunun için Ali Nesin in Analiz 1 kitabına bakabilirsin.
Kaldı ki doğal sayıları tanımlarken 0 ile 1 arasında başka sayı da yok(Kanıtı kolay,uğraşabilirsin.) Yani sıfırdan bire rahatça ulaşabiliyoruz. Diyebilirsin ki sonsuz tane doğal sayı var hepsini tek tek nasıl tanımlayacağız? Neyse ki böyle bir şey de yapmayacağız. Doğal sayılar da Aşağıdaki iki özelliği sağlayan bütün kümelerin kesişimi, yani bu özellikleri sağlayan en küçük küme olarak tanımlanır.
1) $0 \in \mathbb{N}$.
2)Her $x \in \mathbb{N}$ için $(x+1) \in \mathbb{N}$ olsun.
Dediğim gibi bu iki özelliği sağlayan en küçük küme doğal sayılar olarak tanımlanır.