Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
509 kez görüntülendi

$A$ bir halka olsun. 

Tanim: (asalli ideal) $\mathfrak q$ idealine asallıdır diyeceğiz eğer $\mathfrak q \ne A$ ise ve her $xy \in \mathfrak q$ için $x\in \mathfrak q$ ya da bir $n>0$ tam sayısı için $y^n \in \mathfrak q$ ise.

Sav: $\mathfrak q$ ideali asallıdır ancak ve ancak $A/\mathfrak q \ne 0$ ve $A/\mathfrak q$ icerisindeki her sıfır bölen sıfırgüçlü ise.

Asallı oldugunu kabul edersek
ilk koşul olan $A/\mathfrak q \ne 0$ sağlanır çünkü $q \ne A$.
ikinci koşul için $y+\mathfrak q \ne 0+ \mathfrak q$ olacak sekilde bir $y \in A$ elemani alalim ve $y+\mathfrak q$ elemani $A/\mathfrak q$ icerisinde sifir bolen olsun. Bu durumda $x+\mathfrak q \ne 0+\mathfrak q$ olacak sekilde bir $x+\mathfrak q$ elemani vardir ki $$(x+\mathfrak q)(y+\mathfrak q)=0+\mathfrak q$$ olur. Yani $$xy \in \mathfrak q$$ olur. Bu durumda $$x \in \mathfrak q \;\;\;\text{ ya da } \;\;\; \text{ bir $n>0$ tam sayisi icin } y^n\in \mathfrak q$$ yani $$x+\mathfrak q=0+\mathfrak q\;\;\;\text{ ya da } \;\;\; \text{ bir $n>0$ tam sayisi icin } y^n+\mathfrak q=0+\mathfrak q$$ olmali. Ilkinin dogru olmadigini kabul ettigimizden yukaridaki pozitif $n$ tam sayisi icin $$(y+\mathfrak q)^n=0+\mathfrak q$$ olmali.  Bu da $y+\mathfrak q$ elemaninin $A/\mathfrak q$ icerisinde sifirguclu olmasi demek.


Soru: Diger kismini nasil gosterebiliriz?

Lisans Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından  | 509 kez görüntülendi
 (Affınıza  sığınarak); bu soruyu alıştırma olsun diye mi sordunuz yoksa ispatta bir  yerde sıkıntı yaşadığınız icin mi? 

Kendime alistirma gibi. Ara ara Atiyah'in ispatlarini yapmayi planliyorum. (kendim, bir sekilde). Bu sav dedigim tanimin akabindeki bir cumle aslinda.

sorudaki $q$ sembolünü nasıl yazdınız?

\mathfrak ile        

sağol Sercan.

Sercan'ın yazdığının üzerine sağ tıklayıp "Show Math as"e basarak da görebilirsin.

Çok Sağol Özgür. Bunu öğrendiğim iyi oldu.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$A/q\neq 0$ olduğundan $q\neq A$. $xy\in q$ ve $x\notin q$ olsun.(Yani; $x+q\neq 0+q$). Buradan $(x+q)(y+q)=0+q$ ve eğer $y+q=0+q$ ise $y^{1}\in q$ olur ispat biter. Şayet $y+q\neq 0+q$ ise $y+q\in A/q$ bir sıfır bölen  ve  kabülden sıfır güçlü elemandır. Bu durumda $(y+q)^{n}=0+q$ olacak şekilde bir $n\in \Bbb{N}$ vardır. Bu ise ispatı tamamlar.
(1.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,008,256 kullanıcı