$a,b \neq 0$, $a \neq b$, $f(x)= ax+b$, $g(x)= bx+a$ ve $f \circ g (x) = g \circ f (x)$ ise $a,b$ reel sayıları hakkında ne söyleyebiliriz?

Question

Benim düşünceme göre a+b=1 olması gerekir ama bunu izah edemiyorum daha doğrusu a+b=1 dememin sebebi bu ifadenin bir tek o şekilde uygun olacağını düşünmem bunu matematiksel olarak nasıl ifade ederiz ? 

Comments

$f(g(x))=g(f(x))$ olduğu kullanılabilir.

Answer 1

$(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$ ise $f$ ve $g$ fonksiyonlarının kurallarını yazalım;

$$(ax+b)\circ(bx+a)=(bx+a)\circ(ax+b)$$ şimdi burada bileşkenin sağında kalan fonksiyonları yani $x$ li ifadeleri solunda kalan fonksiyonlarda $x$ yerine yazıyoruz; $$a(bx+a)+b=b(ax+b)+a$$ $$abx+a^2+b=abx+b^2+a$$ $$a^2-b^2+b-a=0$$ $$\implies (a-b)(a+b)-(a-b)$$ $$=\underbrace{(a-b)}_{a=b}\underbrace{(a+b-1)}_{a+b=1}=0$$ sonuçlarına ulaşabiliriz.

Answer 2

$f \circ g$ ve $g \circ f$ fonksiyonlarını $a,b$ cinsinden hesaplarsan bu iki bileşke fonksiyonun eşitliğinden $a$ ve $b$ arasında bir eşitlik çıkacaktır.