$x \in \mathbb Q$ için $x^2 =x$ ise ya $x= 0_{\mathbb Q}$ yada $x=1_{\mathbb Q}$ dir gösteriniz

Question

$\mathbb Q$ rasyonel bir sayılar kümesi olsun. $x \in \mathbb Q$ için $x^2 =x$ ise ya $x= 0_{\mathbb Q}$  yada $x=1_{\mathbb Q}$ dir gösteriniz

Comments

İki tarafa da -x ekle. Sonra dağılma özelliğini kullan ve çarpımın sıfıra eşit olduğunu söyle. Sonra da rasyonel sayılarda iki sayının çarpımı sıfır ise, bu sayılardan birinin sıfır olması gerektiğini hatırla.

Daha açık söylemek istemiyorum.

Answer 1

$A=\{(a,b)\mid a,b\in \Bbb{Z}~ \mbox{ve} ~b\neq 0\}$ olsun. $A$ üzerinde $(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow ad=bc$ ile bir $\sim$ bağıntısı tanımlansın. Bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır ve $A$'yı denklik sınıflarına ayrıştırır. İşte bu denklik sınıflarının herbirine rasyonel sayı denir. Denklik sınıflarının oluşturduğu kümeyi $\Bbb{Q}$ ile gösterelim.
Şimdi $x=\overline{(a,b)}\in \Bbb{Q}$ ve $x^{2}=x$ sağlansın. Buradan $\overline{(a^{2},b^{2})}=\overline{(a,b)}$ elde edilir. Bağıntı tanımı gereğince $a^{2}b=b^{2}a$ ve $ab(a-b)=0$ bulunur. Tamsayılar sıfır bölensiz olma özelliğine sahip olduğundan $a=0$ veya $b=0$ veya $a=b$ elde edilir. $b=0$ olamaz çünkü $(a,b)\in A$ idi. Eğer $a=0$ ise $x=0$ ve eğer $a=b$ ise $x=1$ elde edilir.