Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
397 kez görüntülendi

$\mathbb Q$ rasyonel bir sayılar kümesi olsun. $x \in \mathbb Q$ için $x^2 =x$ ise ya $x= 0_{\mathbb Q}$  yada $x=1_{\mathbb Q}$ dir gösteriniz

Lisans Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 397 kez görüntülendi

İki tarafa da -x ekle. Sonra dağılma özelliğini kullan ve çarpımın sıfıra eşit olduğunu söyle. Sonra da rasyonel sayılarda iki sayının çarpımı sıfır ise, bu sayılardan birinin sıfır olması gerektiğini hatırla.

Daha açık söylemek istemiyorum.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$A=\{(a,b)\mid a,b\in \Bbb{Z}~ \mbox{ve} ~b\neq 0\}$ olsun. $A$ üzerinde $(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow ad=bc$ ile bir $\sim$ bağıntısı tanımlansın. Bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır ve $A$'yı denklik sınıflarına ayrıştırır. İşte bu denklik sınıflarının herbirine rasyonel sayı denir. Denklik sınıflarının oluşturduğu kümeyi $\Bbb{Q}$ ile gösterelim.
Şimdi $x=\overline{(a,b)}\in \Bbb{Q}$ ve $x^{2}=x$ sağlansın. Buradan $\overline{(a^{2},b^{2})}=\overline{(a,b)}$ elde edilir. Bağıntı tanımı gereğince $a^{2}b=b^{2}a$ ve $ab(a-b)=0$ bulunur. Tamsayılar sıfır bölensiz olma özelliğine sahip olduğundan $a=0$ veya $b=0$ veya $a=b$ elde edilir. $b=0$ olamaz çünkü $(a,b)\in A$ idi. Eğer $a=0$ ise $x=0$ ve eğer $a=b$ ise $x=1$ elde edilir.
(1.5k puan) tarafından 
20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,752 kullanıcı