Bir elips'i sınırlandırmak,kalkülüs.

Question

$P(x,a)$ ,$Q(-x,a)$ , merkezi $(0,5)$  ve denklemi,

$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{(y-5)^2}{25}=1$

olan elipsin üst yarısı üzerinde iki nokta olsun($P,Q$).

Elipsin $P$ ve $Q$  noktalarındaki teğetler kullanılarak, şekilde gösterildiği gibi, bir $RST$ üçgeni oluşturuluyor.

$S.1)$   $y=f(x)$   elipsin üst yarısını temsil eden fonksiyon olmak üzere ,üçgenin alanının

$A(x)=-f'(x)\left[x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\right]^2$  

olduğunu gösteriniz.

$S.2)$  $A$'nın tanım kümesi nedir? Grafiğin asimptotları problemin konusu ile nasıl bağlaşıktır/ilişkilidir?

$S.3)$  En küçük alanlı üçgenin yüksekliğini belirleyin.Elips merkezinin $y$ koordinatıyla nasıl bağlaşıktır/ilişkilidir?

  

Comments

ben beğendim 

---

biraz uğraşsan çözebilirsin :)

---

hangi koni bakimindan ?

bunları hiç bilmiyom :/

---

Burada soru elipsi çevreleyen en küçük üçgeni bulmak ise geometrik bir çözüm de var.

(http://matkafasi.com/15399/elips#a15715 daki 2. çözüm gibi)

Answer 1

Bu elipsin büyük eksen(asal eksen )uzunluğu $20$ küçük eksen uzunluğu $10$ olduğundan $x<10,\quad a>5$ olduğu açıktır. Ayrıca verilenlerden $Q$ile $P$ 'nin ve $S$ ile $T$'nin $oy$ eksenine göre simetrik oldukları açıktır.

$Q(-x,a),P(x,a)$ noktaları elips üzerinde olduğundan:   $\frac{x^2}{100}+\frac{(a-5)^2}{25}=1\Rightarrow x=\pm2.\sqrt{-a^2+10a}$ olur. Bu da $Q(-2.\sqrt{-a^2+10a},a) \quad P(2.\sqrt{-a^2+10a},a)$ demektir. 

Diğer taraftan $\frac{x^2}{100}+\frac{(y-5)^2}{25}=1\Rightarrow (y-5)^2=25-\frac{x^2}{4}\Rightarrow y=5\pm\sqrt{25-\frac{x^2}{4}}$ olduğundan üst yarı $y=f(x)=5+\sqrt{25-\frac{x^2}{4}}$ olup,türevi 

$f'(x)=\frac{-x}{4\sqrt{25-\frac{x^2}{4}}}=\frac{-x}{2\sqrt{100-x^2}}$ Bulunur.

 Şimdi üçgenin $RT$ kenarlarının eğimini ve denklemini bulalım.

$m_{RT}=\frac{-\sqrt{-a^2+10a}}{2(a-5)} $ ve denklemi de : $ y-a=\frac{-\sqrt{-a^2+10a}}{2(a-5)}(x-2\sqrt{-a^2+10a})$ olup bu doğrunun koordinat eksenlerini kestiği noktalar ; 

$T(\frac{10a}{\sqrt{-a^2+10}},0)$ ve $R(0,\frac{5a}{a-5})$ olur. 

$Alan(RST)=\frac{|ST|.|OR|}{2}=\frac{2.10a}{\sqrt{-a^2+10a}}.\frac{5a}{a-5}.\frac 12=\frac{50a^2}{(a-5)\sqrt{-a^2+10a}}...................(1)$ olacaktır.

Eğer $f(x)=a,\quad f'(x)=\frac{-\sqrt{-a^2+10a}}{2(a-5)} $ olduğu $A(x)=-f'(x)[x-\frac{f(x)}{f'(x)}]^2.......................(2)$ eşitliğinde kullanılırsa $(1)$ ile $(2)$ nin eşit olduğunu görürüz.

Alanın tanım kümesi $R-{5}$ olmalı.

Alanın maksimum/minimum olması durumu da $\frac{50a^2}{(a-5)\sqrt{-a^2+10a}}$'ın türevini sıfırlayan $a$ değerlerine bağlıdır.

Son olarak $|ST| >20$ olduğu ve $R$ noktasının ordinatının da $10$ dan büyük olması gerektiğini belirtmeliyim.

Comments

Bu soru$x^2+(y-r)^2=r^2$ çemberi içinde de ve $x^2+y^2+z^2=r^2$ küresi için ve elipsoid içinde sorulabilir.  

---

cozumunuz ıcın teşekkurler tam olarak ınceleyecegım en kısa surede. saygılarımla sevgılerımle selamlar, A(x) ı kabul ederek cozmussunuz bunu da ayrıca kımse gostermez ıse ben gosterırım 2-3 gun ıcınde :)