Elips

Question

Şekildeki merkezil elipsde taralı alanlar eşit olduğuna göre $\tan\alpha$ kaçtır?

Comments

Lütfen şekil haricindeki yazıyı resmin dışındaki yazı alanına yazınız.

---

Sorulan $tan(a)$ mı? $tan(\alpha)$ mı?

---

Tan(a) neye eşittir cevap b/a

---

Soru "$\tan\alpha$ yı bul" olmalı.

---

Resimde değiştirmesi zor olsa gerek.

Answer 1

Soru $\tan \alpha$ yı bulmak olmalı çünkü, "$\tan a$ yı bulmak" anlamsızdır.

Üçgenlerin de alanlarını eklendiğinde çeyrek elipsi iki eşit parçaya bölen "yarıçapı" bulmak sorusu.

Çeyrek elipsin alanı $\frac{\pi ab}{4}$ tür. Kutupsal koordinatlar kullanmak daha uygun olur.

Elipsin denklemi $r^2=\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}$ İstenen açı $\alpha$ için $\int_0^\alpha\frac12r^2\;d\theta=\frac{\pi ab}{8}$ olmalıdır.

$$\int_0^\alpha\frac12r^2\;d\theta=\frac{b^2}{2}\int_0^\alpha\frac{\sec^2\theta}{\frac{b^2}{a^2}+\tan^2\theta}\;d\theta=\frac{b^2}2\int_0^{\tan\alpha}\frac{du}{\frac{b^2}{a^2}+u^2}=\frac{ab}{2}\textrm{Arctan}\left(\frac ab\tan\alpha\right)=\frac{\pi ab}{8}$$ eşitliğinden $\tan\alpha=\frac ba$ bulunur.

Answer 2

Başka (bence daha güzel) geometrik bir çözüm:

$x'=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} x  ,\  y'=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} y$ lineer dönüşümü determinantı 1 olduğundan alanları değiştirmez.

Bu dönüşüm, bu elipsi, yarıçapı $\sqrt{ab}$, merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktası olan  çembere, eksenleri kendilerine, diğer doğruları da yine  doğrulara dönüştürür.

Çemberin 1. çeyreğini ikiye bölen (merkezden geçen) doğru $x'=y'$ doğrusudur. Bu doğruya dönüşen doğru da (dönüşüm alanları koruduğu için)  elipsin 1. çeyreğini iki eşit parçaya böler. $y'=x'$ doğrusuna dönüşen doğrunun da, $y=\frac ba x$ doğrusu olduğu kolayca bulunur.