İlk olarak şunu anlamamız gerek, yerel minimum ve maksimum için türevin işaretinin değişmesi gerekmekte veya sınır değerlerinin maksimum ve minimumlarını araştırmamız gerekmektedir.
Reel sayılar yoğundur , bu ne demek? bunu anlamak için aşşağıda verdiğim örnege kafa yorabilirsiniz,
$a>0$ olan bir reel sayı ise $a$ nın minimum değeri nedir?
Cevap, yoktur, çünki $0$ 'a yakın hangi sayıyı seçersek seçelim hep daha küçüğünü yani $0$ 'a daha yakınını buluruz ve bu böylece sonu olmayan bir şekilde gider durur.
Teoremler,
Tanım(extrem değer teoremi):
$f$, kapalı bir $[a,b]$ aralığının her noktasında sürekli ise, bir mutlak maximum değer $M$'ye ve
bir minimum değeri $m$'ye $[a,b]$ içinde erişir. Yani,$[a,b]$'da ,$f(x_1)=m$ ve $f(x_2)=M$ olacak şekilde,
$x_1,x_2$ sayıları vardır ve $[a,b]$'daki diğer her bir $x$ için $m\le f(x)\le M$
Tanım(yerel maximum):
Bir $f$ fonksiyonunun, tanım aralığının bir $c$ iç noktasında,
$c$'yi içeren bir açık aralıkta her $x$ için $f(x)\le f(c)$ ise,bir yerel maximum değeri vardır.
Tanım(yerel minimum):
Bir $f$ fonksiyonunun , tanım aralığının bir $c$ iç noktasında,
$c$'yi içeren bir açık aralıktaki her $x$ için $f(x)\ge f(c)$ ise, bir yerel minimumu vardır.
Ayrıca,
http://matkafasi.com/79923/%24-boxed-text-tanimlar-%24kalkulus-tanimlarini-yazalim-3?show=79923#q79923
http://matkafasi.com/80072/%24-boxed-text-tanimlar-%24-kalkulus-tanimlarini-yazalim-4
bu linklere bakabilirsiniz ancak buradaki teoremler süreklilikle incelenir, bu soru için çok yeterli kalmazlar,yorumlamaya ihtiyacımız var.
Analize başlayalım,
En baştaki ,"$a>0$ olan bir reel sayı ise $a$ nın minimum değeri nedir?" örneğindeki mantıkla, $x=2$ noktasındaki extremleri incelersek, görüyoruz ki $f(2)$ tanımlı değil dolayısıyla $f(2)$ 'e çok yakın olan noktalar büyük ancak , yoğunluktan dolayı tek bir maksimum değer veremiyoruz dolayısıyla $x=2$ de ekstrem nokta yoktur.
Verilen teoremler ve linklerden görülecektir ki, $x=4^-$ de türev negativ $x=4^+$ da türev pozitiv ve $x=4$ komşuluğunda fonksiyon süreklidir o zaman kesinlikle $x=4$ noktası bir ekstrem noktadır.
$x=10$ komşuluğunda süreklidir ancak sağdan ve soldan türevleri hep pozitivdir dolayısıyla ekstrem nokta degıldır (sezgisel olarak grafiği incelersek görüyoruzki x=10 etrafında bir ekstremlik yoktur, ayrıca türev de yoktur ancak bu bizim konumuz degıl bu soru için)
Sorunun cevabında katılmadıgım nokta $x=15$ de bir yerel maks oldugunu soylemesıdır, $x=15$ komşulugunda $x=15$ hariç süreklidir ve $f(c)>f(15)$ olan sonsuz sayıda nokta vardır dolayısıyla $x=15$ ekstrem değer olamaz, $f(15)$ çook yukarlarda olsaydı yani $\lim\limits_{x\to15}f(x)$ den büyük olsaydı o zaman $x=15 $ bir yerel maks ekstrem değeridir diyebilirdik.
Gene sorudaki cevaba katılamıyorum ,$[18-\epsilon,20+\epsilon](\epsilon\in\mathbb R^+)$ aralığı için düşünürsek, bu aralıktaki yerel ekstrem değerleri $x\in (18,20)$ noktalarının hepsini sağlar ve yerel minimumlardır.
$x=28$ de türev olmamasına rağmen $x=28^-$ ve $x=28^+$ da türevlerin işaretleri ters ve grafik ile bu bilgi göz önüne alınırsa ve $x=28$ komşuluğunda herzaman $f(x)<f(28)$ sağlandıgından $x=28$ bir yerel max ekstrem degerıdır dıyebılırız.
Fonksiyon $x\in[0,30]$ aralığında tanımlı oldugundan ekstrem teoremıne gore sınırları ıncelerız ve $x=0$ tanımlı degıldır ve ekstrem nokta olma şansını kaybeder (bahsedilemez), $x=30$ tanımlıdır ve komşuluklarında hep daha küçük ve soldan türevi negativ oldugundan $x=30$ bir yerel minimal noktasıdır/değeridir.
Soruya ek, $[0,a] , (a\in\mathbb R^+)$ aralığını incelersek $x=0$ noktası vardır ve $x=0$ komşuluğunda yani tanımlı olan sadece sağ komşuluğu oldugundan , sağ komşuluğunda hep en yüksek değerdir dolayısıyla $x=0$ noktasını içeren bir aralık için $x=0$ bir yerel maksimum ekstremum noktasıdır.