Son derece ilginç değil mi?

Question

 Euler sayısı olarak da bilinen  ve $1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+..$ toplamına eşit olan , irrasyonel bir sayı:"e"

Diğer tarafta en  az "e"  kadar tanınmış diğer bir irrasyonel sayı pi:   "$\pi$", 

Yine gizemine tam vakıf olamadığımız diğer bir ünlü sayı, sanal birim:" $i=\sqrt{-1}$ "

Bu eşsiz üçlünün  harikulade bileşimleri, büyük bir sihirle $e^{î\pi}=-1$ nasıl olabilir? Bu; bütün matematiği anlatan bir eşitlik midir? değil midir?

Comments

Tabii önce bir reel sayının i'ninci ve pi'ninci kuvvetinin nasıl alınacağını tanımlamak lazım. Nasıl tanımlandığını bilen biri yazabilirse sevinirim. Tabii sonrasında $e^ix = cosx + isinx$ eşitliği kanıtlıyor.Burada x yerine pi alınca istenilen eşitlik elde ediliyor. Tabii ki matematikte sıkça kullanılan  3 ifadeyi de içermesi yönünden 'güzel' bir eşitlik.

---

http://matkafasi.com/211/%24e-i-pi-1-0%24?show=211#q211

soru soruldu daha onceden.

Answer 1

$e^{x}$ = $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ taylor açılımından yararlanalım, x yerine ${i\pi}$ yazalım.

$e^{i\pi}$ = $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{({i\pi})^n}{n!}$

$e^{i\pi}$ = $1+{\frac{i\pi}{1!}}-{\frac{\pi^2}{2!}}-{\frac{i\pi^3}{3!}}+{\frac{\pi^4}{4!}}+{\frac{i\pi^5}{5!}}-{\frac{\pi^6}{6!}}-{\frac{i\pi^7}{7!}}+{\frac{\pi^8}{8!}}+...$

$e^{i\pi}$ = $i$.(${\frac{\pi}{1!}}-{\frac{\pi^3}{3!}}+{\frac{\pi^5}{5!}}-{\frac{\pi^7}{7!}}+{\frac{\pi^9}{9!}}-...$)+($1-{\frac{\pi^2}{2!}}+{\frac{\pi^4}{4!}}-{\frac{\pi^6}{6!}}+{\frac{\pi^8}{8!}}-...$)

burada $sin({x})$ ve $cos({x})$ in Taylor açılımından faydalanırsak;

$e^{i\pi}$ = $i$.$sin({\pi})$+$cos({\pi})$=$-1$  

Comments

Bu cevaba gore ilginc degilmis.

---

ama hala ilginç :)