Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Z/p   ( p tamsayı) gruplarının  tüm otomorfizimlerini bulmak için  " efficiently"  bir  yol(düşünüş)  nedir?

Akademik Matematik kategorisinde (95 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

Herhangi bir durum için olacak çözüme göre özel olarak sorduğunuz durumun çözümü bir hayli kolay, çünkü bu özel durumda aldığımız grup devirli. Yani, $1$'in görüntüsünü bildiğimiz zaman özyapı dönüşümünün tamamını biliyoruz. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Grup devirli oldugundan, $1$'i herhangi bir üretece göndererek orten bir homomorfizma tanımlayabiliriz ve elbetteki bütün örten homomorfizmalar da bu biçimde tanımlanmıştır. Üreteçler de şu biçimdedir: $a\in\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$'in üreteç olması için gerek yeter şart $(a,m)=1$ olmasıdır. Genel cozumu boyle, herhangi bir m icin.

Buradan da: $Aut(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ sonucu cikar.
(25.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme


Genel konuşursak, grup ne kadar "etkin" (efficient) verildiyse o grup hakkındaki soruların da ancak o kadar "etkin" çözümü olabilir. Yani burada grubun nasıl verildiğinin önemi var. (mesela "mertebesi $\leq 10^10$ olup dış otomorfizm grubu büyüksü olan en düşük mertebeli grup" diyerek bir (veya birkaç) grup tanımladık. Ama bu grubu gel de bul! 

Grup "etkin" bir yoldan verildiyse de bu soru pek kolay değil.

Mesela grup sonlu ve çarpım tablosuyla verildiyse oturup tüm permütasyonlarını deneriz. Yöntemi olan tek durum bu, şayet buna "yöntem" denirse. Hesaplama açısından bir felaket tabii $O(|G|!)$ mertebesi işlem gerektiriyor. Bu "yöntem"e mecbursak biraz daha etkin kılmanın yolları olabilir. Mesela birim birime gittiğine göre, daha genel olarak mertebe korunduğuna göre bazı permütasyonları denemeye gerek yok. Ama yine de bu algoritma "kaba kuvvet kullanan" sınıfına giriyor.

Şayet grup yeterince etkin bir şekilde verildiyse, dış otomorfizmlerinden bazılarını yakalamak için bir ümit olabilir. Mesela sonlu bir temsille verildiyse, üreteçlerin gittiği kelimeler yazılıp grup bağıntılarını sağlayıp sağlamadığına bakılabilir.

Ama sonsuz gruplar için bu zor (ve iddialı konuşmam mazur görülürse imkansız) bir soru. Sanırım tasvir sınıfı grupları için çözüm biliniyor. Başka örnekler için:

J. L. Dyer, Automorphism sequences of integer unimodular groups, Illinois Journal of Mathematics, 1978, vol.22, no.1, p.1–30.

] L.K. Hua and I.Reiner, Automorphisms of the unimodular group, Transactions of the American Mathematical Society, 1952, vol.71, p.467–473.

(209 puan) tarafından 
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,054,471 kullanıcı