Cevap 8... 2 kişinin ölümüyle bu işi sonuçlandırabiliyoruz. (1 kişi ile yırtmak mümkün değil tabii.) İnşa şöyle:
$A$ merkezli 1 yarıçaplı bir $C_1$ çemberi ve bir $B\in C_1$ noktası alalım. $B$ merkezli ve 1 yarıçaplı $C_2$ çemberini düşünelim. $C_1\cap C_2$'deki iki nokta $V$ ve $U$ olsun. 10 kişiyi şöyle yerleştiriyorum:
(a) 1 kişi $A$'da;
(b) 6 kişi eşit aralıklarla $C_1$ üzerinde, öyle ki bunlardan biri $B$'de;
(c) 3 kişi $C_2$'nin $C_1$'in dışında kalan kısmında öyle ki birbirlerine ve $U$ ve $V$'ye uzaklıkları 1'den büyük olacak şekilde...
Çemberlerin uzunluğu $2\pi > 6$ olduğu için (b) yapılabilir. $C_1$'de $B$'ye en yakın adamlar $C_2$'nin dışında olacak. Böylece (c) yapıldığında $C_2$ üstündeki 3 kişiye de en yakın kişi $B$ olacak. (c)'nin yapılabilme nedeniyse, $C_2$'nin $C_1$ dışında kalan yayının $4\pi/3 > 4$ olması.
İnşa henüz bitmedi zira uzaklıkları birbirlerinden farklı yapmalıyız. $A$'yı sabit bırakmak koşuluyla çok küçük bir kımıldatma uzunlukları birbirinden farklı kılabilir. Bu kımıldatma öyle yapılmalı ki, $B$ $A$'ya ve $A$ $B$'ye en yakın kişi olarak kalmalı. Böylece 10 kişi içinde ölenler sadece $A$ ve $B$ olacak.
(İstendiği kadar küçük öyle bir kımıldatma vardır; bir tık topoloji bilenler için: uzaklıkların eşit olması kapalı bir koşulken arzuladığımız tüm diğer koşullar -eşitsizlikler- açık koşullar... İki tık topoloji bilenler için: konfigürasyon uzayımız $\mathbb{R}^{20}$. İki uzaklığın eşit olması bir hiperyüzey tarif ediyor; ölçüsü 0. İlk inşamıza karşılık gelen nokta, bu hiperyüzeylerden birkaçının kesişiminde -tam olarak 17 adedinin... İstenen eşitsizlikleri elde etmek için bu noktayı istediğimiz kadar küçük olmak koşuluyla kımıldatabiliriz.)
Birkaç yorum:
*Yukarıdaki tartışmalarda "Eşit uzaklıkta nokta çiftleri var. Bu çözüm çöpe." gibi itirazlar olmuş. Bunların hepsi yukarıdaki kımıldatma mantığıyla bertaraf edilebilir, sorun yok.
* Ökkeş Dülgerci'nin cevabı gereksiz yayvan. İnşa benimki gibi sıkıştırılabilirdi. Şafak Özden'in tahtada bulup sonra sildiği cevabıysa bana Fermat'nın kitap kenarındaki notunu anımsattı :)
* 11. kişi benim inşama sokuşturulamaz çünkü $2\pi < 7$... Yukarıdaki inşa, 10 kişi için keskin biçimde çalışıyor. Bu inşa, $n$ kişi için, 10arlı gruplar oluşturarak şu sonuçları veriyor: $k=n \mod 10$ ve $m=\lfloor n/10\rfloor$ olmak üzere, $k\leq 7$ ise cevap $m+1$ yoksa $m+2$... Bunun en iyi sonuç olduğunu iddia etmiyorum. Hatta bu kendi kendine takılan 10arlı grupların, adeta bir çember yerleştirme problemindeymişçesine (packing problem) birbirlerine eklemlenebileceğini hissediyorum.
* $n\times n$ simetrik bir matris (hatta girdileri pozitif tamsayı olsun), düzlemde $n$ kişinin birbirlerinden uzaklıklarını betimlesin. Böyle bir $M$ matrisine karşılık gelen bir dağılım var mıdır? Cevap bilinmiyor. Hatta $n$ kişiden herbiri en yakın olacağı kişiyi seçsin (tam bizim problem). Buna karşılık gelen bir düzlemsel dağılım var mıdır? Bu problem NP-complete! Şu anda bu konuda Boğaziçi Elektronikte, benim de danışmanları arasında olduğum bir doktora tezi yapılıyor.
* Bu tür sorular genelde çok zor. Örneğin, $n$ noktayı bir çemberin, bir eşkenar üçgenin ya da bir karenin içine öyle yerleştirin ki, noktalar arasındaki uzaklıkların minimumu olabilecek en fazla olsun... Bu sorunun yanıtı çok az durumda biliniyor. Eşkenar üçgen için $n$ bir Pascal sayısıysa (1'den $l$'ye kadar olan sayıların toplamı) ya da kare için $n$ de tam kareyse cevap bariz (ama ispatı zor).