Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
415 kez görüntülendi

Tanım(Peano eğrisi): Bir yozlaşmamış -yani tek öğeli kümeden oluşmayan- $I\subset \mathbb{R}$ aralığında tanımlanmış, öziçi boş olmayan değer kümesine sahip ve sürekli bir $\gamma:I\rightarrow \mathbb{R}^2$ göndermesine Peano eğrisi denir.

Bir yolu aşağıdaki teoremi "$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ türevlenebilir" özel durumuna uydurup kullanmak olabilir, ama nasıl?

Teorem(Sard,1942): $M$ bir $m$ boyutlu ve $N$ de  bir $n$ boyutlu düzgün/gıcır birer çokkatlı olsunlar. $f:M\rightarrow N$ düzgün bir gönderme ($f\equiv (f_1,...,f_n)$), $K$ ise $f$ göndermesinin tüm kritik noktalarının oluşturduğu küme olsun, yani $K:=\{ x:x\in M, \text{mertebe}\left[\begin{matrix}(D_1f_1)(x)&...& (D_mf_1)(x) \\ : & : & :\\ (D_1f_n)(x) & ...& (D_m f_n)(x) \end{matrix}\right]<n\}$.

O zaman, $f(K)$'nın $N$'deki ölçüsü sıfırdır.

Lisans Matematik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 415 kez görüntülendi

Türevlenemez derken ne kastediyorsunuz? Eğer "hiçbir yerde türevlenemez" demek istiyorsanız önerme bu haliyle yanlış çünkü uzay dolduran bir $f:[0,1/2] \rightarrow [0,1]^2$ eğrisi alıp fonksiyonu $[1/2,1]$ aralığında sabit değer alacak şekilde genişletirsek bu aralıkta türevlenebilir olur ve türevi sıfır olur.

Sanırım sormak istediğiniz soru her yerde türevlenebilir bir uzay dolduran eğrinin olmadığı.

Evet, Peano eğrilerinin heryerde türevlenebilir olmadığını kastetmiştim.

20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,056,005 kullanıcı