Kompleks bir fonksiyonun lineer olduğunun ispatına dair

Question

Merhaba,

Sabit olmayan, $1-1$ ve $entire$  kompleks fonksiyonların lineer olduklarını nasıl ispatlarız? Casorati- Weierstrass'ı kullanmadan bunu yapmanın yolu var mıdır?

Bu tür fonksiyonların "open" oldukları aşikar, sonrasında "Bir fonksiyon "open" ve $1-1$ ise tersi de süreklidir" demek istiyorum ama burada $1-1$ olmayı nasıl kullanıyorum, bilemedim. "Open" olan her fonksiyonun tersi de sürekli, değil mi? 

Ardından da "Tersi de bir fonksiyonsa bu adem bire-bir eşlemedir", diyeceğim ama buna hakkım var mı?

Answer 1

Picard ın "küçük" teoremini kullanmaya izin var mı? Kullanacak olursak:

Örten değilse almadığı tek bir değer vardır. 

DÜZELTME:

O değerden yararlanarak $f(z)=e^{g(z)}+c$ olduğu ($c$: fonksiyonun almadığı değer. Burda biraz işlem var), dolayısıyla 1-1 olmadığı gösterilebilir.

Yani 1-1 tam (entire) bir fonksiyon her karmaşık değeri alır. 

Buradan, $f$ nin tersinin ($f$ nin açık dönüşüm olması sayesinde) ($\mathbb{C}\to\mathbb{C}$) sürekli olduğu çıkar.

$f^{-1}$ in sürekli olduğunu kullanarak, $\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty$  (topoloji ile: kompakt kümelerin ters görüntüsünün kompakt oluşu sayesinde) olduğu gösterilir ve $f$ polinom olur. Ve yine 1-1 oluşundan lineer olur.

Comments

http://math.stackexchange.com/questions/29758/entire-1-1-function

de biraz daha basit bir ispatı var.