Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
114 kez görüntülendi
z=-2 noktasını z=2 noktasına birleştiren ve uç noktaları hariç reel eksenin tamamıyla üstünde kalan herhangi düzgün eğri C ise $$\displaystyle\int_c z^i dz$$  integralini hesaplayınız.

Burada z uzeri i nin ilkelini alıp daha sonra noktaları çıkarsam doğru bir yol mu izlemiş olurum?
Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 114 kez görüntülendi
Dogru, çünkü dogru ıntegrallerının temel teorısını kullanarak orada bu fonksıyonun bellı  bır açık kumede analitik oldugunu gostermen gerekıyor ve dolayısıyla 2 noktayı, bu fonksiyonun ilkelinde koyup çıkarırsan olur.
Bu fonksiyonun ilkeli var mı orada?
Bunu doğru olması bazı koşullara bağlıdır. Onların sağlanması gerekiyor.
$z^i=e^{i\ln(z)}$ ve $\ln z$ de orijin dışında analitik dolayısıyla soru sahibinin söylediği herhangi bir eğri için $z^i$ analitik olduğu açık bir alan vardır diye düşündüm ama bir şekilde direkt olarak ilkeli bulma fikri gelmedi ama yerine koyma metodu uygularsak çıkıyor sanırım.

$-2$'den $2$'ye yarım çember yayını düşünelim bunu, şu küme ile parametrize edebiliriz $C(t)=\{2e^{it}| 0\le t\le \pi\}$

 

O zaman $z^i=(2e^{it})^i=2^i e^{-t}$ ve $dz=ie^{it}dt$

O zaman integralimiz $$\displaystyle\int_c z^idz=i2^i\displaystyle\int_0^\pi e^{(-1+i)t}dt=\dfrac{i 2^i}{-1+i}\left(e^{(-1+i)\pi}-1\right)$$
" ln⁡z de orijin dışında analitik"

Doğru değil. Durum biraz daha karışık.
19,119 soru
21,037 cevap
69,886 yorum
23,367 kullanıcı