Kompleks Fonksiyonlar integral hesabı

Question

z=-2 noktasını z=2 noktasına birleştiren ve uç noktaları hariç reel eksenin tamamıyla üstünde kalan herhangi düzgün eğri C ise $$\displaystyle\int_c z^i dz$$  integralini hesaplayınız.

Burada z uzeri i nin ilkelini alıp daha sonra noktaları çıkarsam doğru bir yol mu izlemiş olurum?

Comments

Dogru, çünkü dogru ıntegrallerının temel teorısını kullanarak orada bu fonksıyonun bellı  bır açık kumede analitik oldugunu gostermen gerekıyor ve dolayısıyla 2 noktayı, bu fonksiyonun ilkelinde koyup çıkarırsan olur.

---

Bu fonksiyonun ilkeli var mı orada?

---

Bunu doğru olması bazı koşullara bağlıdır. Onların sağlanması gerekiyor.

---

$z^i=e^{i\ln(z)}$ ve $\ln z$ de orijin dışında analitik dolayısıyla soru sahibinin söylediği herhangi bir eğri için $z^i$ analitik olduğu açık bir alan vardır diye düşündüm ama bir şekilde direkt olarak ilkeli bulma fikri gelmedi ama yerine koyma metodu uygularsak çıkıyor sanırım.

$-2$'den $2$'ye yarım çember yayını düşünelim bunu, şu küme ile parametrize edebiliriz $C(t)=\{2e^{it}| 0\le t\le \pi\}$

 

O zaman $z^i=(2e^{it})^i=2^i e^{-t}$ ve $dz=ie^{it}dt$

O zaman integralimiz $$\displaystyle\int_c z^idz=i2^i\displaystyle\int_0^\pi e^{(-1+i)t}dt=\dfrac{i 2^i}{-1+i}\left(e^{(-1+i)\pi}-1\right)$$

---

" ln⁡z de orijin dışında analitik"

Doğru değil. Durum biraz daha karışık.