Merhaba,
Her reel sayıya yakınsayan sayılamaz sonsuzlukta Cauchy dizisi vardır. Pekala, her kompleks fonksiyonun sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı var mıdır? Yakınsaklık yarıçapı içinde evet, ama bir noktada durum nasıldır? Mesela, z bir kompleks sayı olmak üzere, ez 'nin 0 noktasında sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı olabilir mi? Taylor katsayılarını kullanarak bilindik açılımı yazabiliyoruz; başka türlü zilyon tane açılım yazabilir miyiz aceb?
Güç serisi açılımı tektir.
Neden öyledir? { 1,z,z2,... } kümesi lineer bağımsız olduğu için mi?
Herhangi bir karmaşık analiz kitabında ispatını bulabilirsin.
Doğruymuş, hem de onlara göre o kadar barizmiş ki ispatlamaya bile zahmet etmemişler :)
Soruyu doğru anladıysam olamaz. Çünki, (reel sayılarda da) (yakınsaklık yarıçapı pozitif olan) kuvvet serisine açılım tekdir, çünki (a merkezli kuvvet serilerinde) katsayıları,
(f(z)=∑∞n=0an(z−a)n olmak üzere) an=fn(a)n! eşitliği sağlanır.