Türev ve mertebeleri, anlamsız

Question

Aşağıda yer alanlar tamamen kendi başıma düşündüğüm şeylerdir, mantıksız olabilirler.

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,
$n \in \mathbb{R}$ olsun

$\frac{d^n f(x)}{dx^n} = 0$ eşitliğini sağlayan $n$ değerine $f$ fonksiyonunun "durma noktası" diyelim.

$T$ kümesi, aşağıdaki $\omega$ fonksiyonu dışında kalan tüm fonksiyonların kümesi olsun.

$$\begin{equation}     \omega : T \to \mathbb{R} \end{equation}$$

fonksiyonu verdiğimiz fonksiyonun durma noktası bize veren fonksiyon olsun.

$S$ kümesi, herhangi bir $f$ için $\omega(f) = n$ olan fonksiyonlar kümesi olsun. (Durma noktası olan fonksiyonlar kümesi olsun.)

$C$ ise, durma noktası olmayan fonksiyonlar kümesi olsun.




1. $C \neq \varnothing$ olduğunu gösterin.
2. Durma noktası $n$ için $n \in \mathbb{Q}$ olabilir mi? (Neden?)
3. Aşağıdakinin doğru olduğunu kanıtlayın. (Doğru mudur?)
    $$\begin{equation}          \bigcup_{f \in S} \{ \frac{d^{(\omega(f))-1} f(x)}{dx^{(\omega(f))-1}} \} \subseteq \mathbb{Z}     \end{equation}$$

4. Durma noktası olan fonksiyonlar genelleştirilebilir mi?

Comments

$\omega$'nın bir fonksiyon olması için her $f$ için bir ve yalnızca tek $n$ sayısı karşılık gelmelidir. Bu durumda, tanımlarda bazı inceltmelerin yapılması gerekir diye düşünüyorum. Meselâ, aklıma ilk gelen, $\omega$ burada bir fonksiyonel olarak düşünülmeli değil midir?

Answer 1

1 icin: $e^x$
3 icin: turevi 0 olan fonksiyonlar sabit fonksiyonlardir (ispati basit). O nedenle $\mathbb Z$ yerine $\mathbb R$ diyelim.
2 ve 4 icin: genellestirilmis turev

Comments

Aslında 3. için sormak istediğim şuydu; durma noktasından bir önceki mertebedeki türevleri, eleman olarak kabul eden küme = $\mathbb{R}$ olur mu?

---

Cevaptaki 3'e göre, evet, olur.