Yakinsaklik

Question

$g_n(x) = nx(1-x)^n$, $x\in[0,1]$ olmak uzere;

$\int\limits_0^1 {{g_n}(x)dx}$ in yakinsakligi ile ilgili ne soylenebilir?

Answer 1

1) $x\rightarrow -x+1$ donusumu yaparsak integralimizin davranisi $\int\limits_0^1nx^n(1-x)dx$ ile ayni olur.

2) dertli olan noktamiz (improper) $0$ noktasi. (Eger $n<0$ ise.)

3) Eger $n \neq -1,-2$ ise $\lim\limits_{c \rightarrow 0^+} \int\limits_c^1nx^n(1-x)dx=  \lim\limits_{c \rightarrow 0^+} (\frac{n}{n+1}x^{n+1}-\frac{x^{n+2}}{n+2})_{x=c}^{x=1}=\lim\limits_{c \rightarrow 0^+}\bigg((\frac{n}{n+1}-\frac1{n+2})-(\frac{n}{n+1}c^{n+1}-\frac{1}{n+2}c^{n+2})\bigg)$.

4) Artik limit incelemesi yapilabilinir. (Bu kismi kod olarak iyi yazmak uzun suruyor fakat olay sadece limit almak.)