Matrisler ve Turev

Question

\begin{align*} f &\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad \text{ve $m =k-1$ kere turevlenebilir olsun}\\ \hat{f} &\colon\mathbb{R}^{k\times k} \to \mathbb{R}^{k\times k}\\h&\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{k\times k}\\ x &\mapsto \left( \begin{array}{rrrrrr}x & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & x & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdot & \cdot & 0 & 0 & 0\\0 &0 & 0 & \cdot & \cdot & 0 & 0\\ 0 & 0  & 0 & 0 & \cdot & \cdot &0 \\0 &0 & 0&0&0 &x & m\\0 &0&0&0&0&0&x\\\end{array}\right) \end{align*}

bunu nasil ifade edecegimi tam bilemedim ama $f$ ve $\hat{f}$ ayni bicimde olsun. Misal $f(x) = x^2$ ise $\hat{f}(x) = x^2 $, $f(x)=exp(x)$ ise $\hat{f}(x)=exp(x)$ gibi.

sunu farkettim ki $f$ in $x_0$ noktasindaki turevlerini ($\hat{f}\circ h)(x_0)$ in birinci satirinda bulabiliyoruz. Bu her zaman dogru mudur? Eger oyleyse neden ve nasil daha fazla bilinmeyenli fonksiyonlara tasiyabiliriz ?

Comments

$k = 2$ durumu için bir örnek yazabilir misin? Ben çok anlayamadım soruyu.

---

tabii ki

$f(x)=x^2$ secelim

$h(x_0) = \left[\begin{array} &x_0 & 1 \\0 & x_0 \end{array}\right]$

$h(x_0)^2 = \left[\begin{array} &x_0^2 & 2x_0 \\0 & x_0^2 \end{array}\right]$

genel olarak

$h(x_0)^n = \left[\begin{array} &x_0^n & nx_0^{n-1} \\0 & x_0^n \end{array}\right]$$

olacagini gormek zor degil

---

Kusura bakmayın, soruyu ben de anlamadım.

Tanımladığınız $h$ fonksiyonu $x\to xI_k+D$ şeklinde. Burda $I_k$, $k$ boyutlu birim matris; $D$ de $\mathbb{R}_{k-1}[X]$, $k$ boyutlu $\mathbb{R}$-uzayında (gerçel katsayılı en fazla $k-1$ dereceli polinomlardan oluşan $\mathbb{R}$ üzerine vektör uzayı) $(1,X,\dots,X^{k-1})$ tabanında türev alma lineer uygulamasını temsil eden matris.

Peki $\hat{f}$ nasıl bir fonksiyon? Mesela $f:x\to\frac1x$ için $\hat{f}$ nasil tanımlanır? Analitik olmayan bir $f$ için matrislerde $\hat{f}$ nasıl tanımlanır?

---

$f:x \mapsto x^{-1}$ icin $\hat{f} : x \mapsto x^{-1}  $ $k = 2 $ ve $k = 3$ iken ise yariyor gibi. Analitik fonksiyon ne demek bilmiyorum ama galiba aradigim tanim o.

---

Terslenebilir olmayan matrisler için $\hat{f}:M\to M^{-1}$ tanımlı değil. Tanım kümesini kısabiliriz tabi ama $h(0)$ terslenebilir değil.

Analitik fonksiyonları $\sum_{x=0}^{\infty}a_nx^n$ şeklinde yazabiliyoruz, mesela üssel fonksiyon için $a_n=\frac1{n!}$. Türkçe viki yetersiz https://tr.wikipedia.org/wiki/Analitik_fonksiyon

---

$f(x) =x^{-1}$ in tanimli oldugu her $x_0$ icin $h(x_0)$ terslenebilir degil mi ?

---

Evet söylediğim saçma olmuş.

---

Analitik fonksiyonlar icin bu onerme dogru mudur acaba mesela $k=2$ ye sabitlesek.

---

Aşağıda bir hata yapmadıysam oluyor:
Biliyoruz ki $h(x)=xI_k+D$, dolayısıyla her doğal $n$ için $$h(x)^n=\sum_{i=0}^n\binom nix^{n-i}D^i$$ burda $D^0=I_k$ tabi, ve $i\ge k$ için $D^i=0$.
Şimdi $f: x\to\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ iyi tanımlı olsun.
\[
\begin{align}
\hat{f}(h(x))&=\sum_{n=0}^\infty a_n\sum_{i=0}^n\binom nix^{n-i}D^i\\
&=\sum_{n=0}^\infty a_n\sum_{i=0}^k\binom nix^{n-i}D^i\\
&=\sum_{i=0}^kD^i\sum_{n=i}^\infty a_n\binom nix^{n-i}\\
\end{align}
\]
son satırda $\binom ni=\frac{n\cdot(n-1)\dots(n-i+1)}{i!}$, dolayısıyla $a_n$'den sonrası $x^n$'in $i$. türevinin $i!$'e bölümü, bu içerdeki toplam $\frac{f^{(i)}(x)}{i!}$
İstediğiniz özellik matrisin ilk satırında türevlerin olması idi, $D^i$ matrisin ilk satırında sadece $(i+1)$. sütunda 0 değil ve burdaki değeri tam da $i!$.