Question

$f(x)=3+\displaystyle\int_{4}^{x^2} \sqrt{4+3t} \; dt$ ise $(f^{-1})^\prime(3)$ kactir?

Comments

Soru boyle miydi?

---

Ters fonksiyonun türevinin formülünü biliyor musun?

---

buydu cok tesekkur ederim

---

biliyorum fakat integrale nasil uygulanacagini cozemedim

---

$f^{-1}(3) $ bulabiliyor musun?

---

malesef soru hakkinda fikir yurutemiyorum eger biliyorsaniz yontemini soylerseniz sevinirim zamanim kisitli,tesekkurler.

---

$3+\int_4^{x^2}\sqrt{4+3t}\,dt=3$ denklemini çözmen ve $f'(x)$ i bulabilmen gerekiyor.

Answer 1

$f$ fonksiyonu tersinir olabilmesi icin tanim araligini kisitlamamiz gerekli. Fonksiyonun tanim araligi $x\in [0,\infty)$ veya $x\in (-\infty,0]$ olmali.

$x\in [0,\infty)$ kabul edelim.

$f(a)=b$ olmak uzere,

$$(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$$

$f(a)=3$ olsun. $(f^{-1})'(3)=\dfrac{1}{f'(a)}$ olur.

$f(a)=3\implies$ $f(a)=3+\displaystyle\int_{4}^{a^2} \sqrt{4+3t} \; dt=3\implies\displaystyle\int_{4}^{a^2} \sqrt{4+3t} \; dt=0$

$a^2=4$ (integralin sifir olmasi limitlerin esit olmasiyla mumkun). $a=\mp2\implies a=2$

$f(x)=3+\displaystyle\int_{4}^{x^2} \sqrt{4+3t} \; dt\implies f'(x)=\sqrt{4+3x^2} (2x)$

$(f^{-1})'(3)=\dfrac{1}{\sqrt{4+3a^2} (2a)}=\dfrac{1}{\sqrt{4+3(2)^2} (2\cdot2)}=\dfrac{1}{16}$