Question

$\int_{}^{} \frac{1}{2t^2+3t+1} dt$

Answer 1

Bu integrali hesaplamak için kısmi kesir genişlemesini kullanmak gerekiyor. Paydayı çarpanlarına $(2t+1)(t+1)$ olarak ayırdıktan sonra kısmi kesir genişlemesi $$\frac{1}{2t^2+3t+1}=\frac{A}{2t+1}+\frac{B}{t+1}$$ olarak ifade edilir. Burada payda eşitleyerek $A$ ve $B$ sayılarını bulmak oldukça kolay, $A=2$ ve $B=-1$ çıkıyor. Bu durumda $$\int \frac{1}{2t^2+3t+1} dt= 2 \int \frac{1}{2t+1} - \int \frac{1}{t+1}$$

olur ve bundan sonrası da epey kolay. Eger kolay değilse, integral alma konusunda daha temel konuları öğrenmek gerekiyor demektir.

Answer 2

Genel olarak 

$\int \frac{1}{at^2+bt+c} dt$

biçimindeki integralleri hesaplamadan önce paydanın diskriminantına bakılır. Eğer diskriminant > 0 ise aşağıdaki gibi kısmi kesir genişlemesi yoluna gidilerek çözüm yapılır. Eğer diskriminant = 0 ise integral

$\int \frac{1}{at^2+bt+c} dt=$

$\int \frac{1}{(mt+n)^2} dt$

biçimine dönüşür. Bu tarz bir integral ise $mt+n=x$ değişken dönüşümü ile kolayca çözülür. Eğer diskriminant < 0 ise integralin paydası tam kare ifadeye tamamlanarak $(t+k)^2 + p^2$ biçiminde yazılır. Bu aşamada $(t+k)=pu$ dönüşümü yapılarak integral  $\int \frac{1}{u^2+1} du = arctan u + C$ biçimine dönüştürülerek sonuca ulaşılır.