$n \ge 1$ tam sayilari icin $(x+1)^{2n}+(x-1)^{2n}$ polinomlarinin koklerinin karmasik duzlemdeki yerleri

Question

$n \ge 1$ tam sayilari icin $(x+1)^{2n}+(x-1)^{2n}$ polinomlarinin koklerinin esas açılarının alabilecegi degerler nelerdir?

Comments

güzel bir tarafı var gibi 

---

Bunu da bi sekilde kesfettim. Neden, nasil tam hatirlamiyorum ama biraz kassam hatirlarim.

---

Cebirsel bir çözüm buldum. $\arg x = \dfrac{\pi}{2}$ veya $\arg x = \dfrac{3\pi}{2}$ değerlerini alabiliyor. Yani tüm karmaşık kökler sanal eksen üzerindedir. Unutmamak için buraya not bırakayım.

---

Hortlatılmış bir soru, severiz. Bununla uğraşırken anlamlı bir sebebim vardı ama hala hatırlamıyorum :)

Answer 1

$x-1$ (ve $x+1$) in 0 olamayacağı görülüyor. Denklemi düzenlersek:

$\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^n\right)^2=-1$  olur. Buradan

$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^n=\pm i$ olup

$\frac{x+1}{x-1}=(\pm i)^{\frac1n}$ (çok değerli kök) olmalıdır.

$(\pm i)^{\frac1n}$ noktalarının tümünün (sadece) birim çember üzerinde olduğu (ve hiç bir doğru üzerinde olmadığı) görülüyor (hepsinin normları 1 ve argümentleri farklı).

$x\to \frac{x+1}{x-1}$ bir Möbius dönüşümü olup sonsuzu birim çembere (1 noktasına) gönderdiği için bir doğruyu birim çembere gönderir. Denklemin çözümleri bu doğru üzerindedir.

$0$ ve $i$ yi birim çembere gönderdiği için de onları içeren biricik doğru olan sanal ekseni birim çembere gönderir.

Öyleyse denklemin çözümleri (lokman gökçe nin de belirttiği gibi) sanal eksen üzerindedir.

Comments

Veya, (3. satırdan sonra) daha kısa:

$\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=1$ olup, $|x+1|=|x-1|$ olur.

$\pm1$ noktalarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri (bu iki noktanın belirlediği doğru parçasının orta dikmesi olan) sanal eksendir (ama çözüm kümesi, elbette, sanal eksenin tamamı değil).

Answer 2

Mathematica analitik olarak soyle cozuyor.

 

Solve[(x + 1)^(2 n) + (x - 1)^(2 n) == 0, x]

 

$x= \dfrac{1+e^{\frac{i \pi }{2 n}}}{-1+e^{\frac{i \pi }{2 n}}}=-i\cot\left(\dfrac{\pi}{4n}\right)$

 

Butun $n$'ler icin noktalar $x$ ekseninin altindadir.

 

Comments

Mathematica köklerin tamamını bulamamış.

Polinom, reel katsayılı olduğu için buradaki köklerin eşlenikleri (onlar pozitif sanal eksen üzerinde) de bu polinomun kökleri olur.

---

Evet cok sacma olmus yazdigim sey..