$n>1$ tam sayisi icin $\sum \limits_{k=1}^n \frac1k$ tam sayi olamaz.

Question

Ispatlayiniz: $n>1$ tam sayisi icin $\sum \limits_{k=1}^n \frac1k$ tam sayi olamaz.

Answer 1

Kendimce basit anlasilacagini dusindugum bir ispat yazacagim. Daha degisik ispatlari da mevcut.

$n$'den kucuk en buyuk $2$'nin kuvvetini alalim, bu sayi $2^k$ olsun. Bu durumda toplami $2^{k-1}$ ile carparsak $-\frac12$ sayisi tam sayilar ve paydalari tek olan sayilar tarafindan yazilmasi gerekecek. Bu da imkanli degil. Imkansiz oldugunu gormek de zor degil.

Comments

İspatta, bu $2^{k-1}$ ile çarptıgımız $1/2^{k}$'yı  toplam ile yer değiştirdik ve ;

$\dfrac{-1}{2}=\dfrac{\sum a_i b_i}{\prod_{b_i}}$  durumunu kullandık ve $2\neq \prod_{b_i}$

$b_i$'ler tek oldugu için mi dedik?

---

notasyonlarina ne anlam verdin tam anlamasam da $2 \mid (\text{tek sayilar})$ gelecek ve celiski elde edecegiz.