Question

nasil sinx e ve cosx e y diyip donusum yapabiliyoruz? birine a birine b diyip a=b kanitini yapmaniz gerekmezmi?

Comments

Cevabi anladim ama sizin sorunuzu anlamadim.

---

Daha önce verilen cevabı anlamaya çalışıyor sanırım.

---

Daha onceki cevap anlasiliyor da, soruda kullanilan $a=b$ nerden geldi mesela?

---

Sorduğu nokta: "Peşinen nasıl hem $y=\sin x$ hem de $y=\cos x$ tanımı yapılabiliyor? İkisi için de nasıl $y$ değişkeni kullanılabiliyor? Birine $a$ diğerine de $b$ diye farklı iki değişken atamak gerekmez mi? Ve eğer iki ifadeyi toplayacaksan, $a=b$ olması gerekmez mi?" diyor arkadaş. Genel olarak, "dummy index" (Türkçe'de "sağır indis" deniyor galiba) kavramıyla ilgili arkadaşın sorusu sanırım.

---

Hocam senin cevabinda, ayri ayri $y$ aliniyor, o nedenle mahsuru yok. Hadi $y,z$ olarak ikiye ayiralim. Soruda ki $y=z$ ispatlamasi nerden geliyor onu merak ettim?

cevaptaki $y$'ler esit degil ki zaten, ilki $\sin x$ ve ikincisi $\cos x$. Ben bu soruyu cidden anlamadim.

---

"Sen ikisine de ayrı ayrı $y$ diyorsun ama sonra da elmayla armudu topluyorsun, sanki numara yapıyorsun." Eşitleme mantığı, ikisinin de aynı cins olması gerektiğini düşündüğünden geliyor. Onu da $a=b$ ile sağlayacağını düşünüyor. 

Neyse yahu, soru hoşmuş ama... İntegrand adeta $1$ gibi davranıyor! $$\sin^2(\sin x)+\cos^2(\cos x)=1$$ gibi. 

Answer 1

İsterseniz farklı değişkenler atayınız: $y=\sin x$ ve $z=\cos x$. Sonuçta integraller, değişkenler hariç birbirinin aynısı olurlar. Bu değişkenlere "dummy index" deniyor. İntegralin sonucunu etkilemiyor. (Bu cümleler bir integral ifadesinin karesinin alınması durumunda doğru değildir. Çarpmada dikkatli olmak lâzım). Sonra yine $z=y$ dönüşümü yapılabilir ve istenen alınır. 

Wolfram'da belirli integrali hesaplatınca: 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%20%5B%2F%2Fmath%3Asin%5E2(sin(x))%2Bcos%5E2(cos(x))%20dx%2F%2F%5D%20from%20%5B%2F%2Fmath%3Ax%2F%2F%5D%3D%5B%2F%2Fmath%3A0%2F%2F%5D%20to%20%5B%2F%2Fmath%3Api%2F2%2F%2F%5D

bulunuyor!!

Comments

tam anlatamadim. Neden imtegralleri en son topladigimizda sin^2ve cos^2 li terimler toplami 1 oldu?

---

murad.ozkoc aşağıda tekraren ayrıntısıyla yazmış. Oraya atıfla sorarsanız anlaşmamız daha kolay olacak sanırım. Neden $1$ olmasın ki? İntegrallerin sınırları aynı, integrantların paydaları da aynı. O zaman toplama sonucunda $$\sin^2y+\cos^2y=1$$ elde edilir.

Doğru mu anlamışım acaba?

---

Yorum silinmistir.

---

trrsbck, sanırım siteyi kullanma konusunda güçlük çekiyorsunuz. Yanılıyor muyum? Bir başka soru altında da küfür ve hakaret içeren bir yorum yapmışsınız diğer yorumlardan anladığım kadarıyla. Bunu hatırlatmak zorunda kaldığım için gerçekten üzgünüm ama iletişim kurarken saygılı davranmak gerekiyor. Bu tarz davranışlar sitenin varoluşuna saldıran hareketlerdir ve sonucu uzun vadede siteyi kullanamamanız olabilir. 

Answer 2

$sinx=y\Rightarrow cosxdx=dy\Rightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy$

$I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^2(sinx)dx=\int_{0}^{1} \frac{sin^2y}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 

Benzer şekilde

$cosx=z\Rightarrow -sinxdx=dz\Rightarrow dx=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dz$

$I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^2(cosx)dx=\int_{1}^{0} \frac{-cos^2z}{\sqrt{1-z^2}}dz=\int_{0}^{1} \frac{cos^2z}{\sqrt{1-z^2}}dz=\int_{0}^{1} \frac{cos^2y}{\sqrt{1-y^2}}dy$  

$I=I_1+I_2 \Rightarrow I=\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy$ olur. Sonrası rutin.