Riemann Integral Sorusu

Question

$f:[0,3] \to R$

$f(x)= x$   eger      $0 \le x \le 1$

$f(x)= 1$   eger      $1 < x \le 2$

$f(x)= x$   eger      $2 < x \le 3$

$a)$ $F(x) = \int\limits_0^x {f(t)dt,\,\,\,x \in [0,3]} $ için formul elde ediniz (Riemann Integral)

$b)$ $f(x)$ ve $F(x)$ grafiklerini cizin. (sanirim $F(x)$ bulunursa bu kolay)

$c)$ $F(x)$ nerede turevlidir?

$d)$ hangi durumda $F'(x) = f(x)$

Comments

Soru lisans kategorisinde olmali.

---

lisans kategorisine dgistirdim

---

$f$ bağıntısı bir fonksiyon değil. $x=2$ için $f(2),$ hem $1$ hem de $2$ değerini alıyor.

---

Şimdi düşünelim.

Answer 1

$F(x)$ de parçalı olsa gerek:

$$F(x)=\frac{x^2}{2}, \hspace{10px}  0 \leq x \leq 1,$$

$$F(x)=-\frac{1}{2}+x, \hspace{10px} 1 < x \leq 2,$$

$$F(x)=-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{2}, \hspace{10px} 2 < x \leq 3.$$

$F$, $x=2$ hariç her noktada türevlidir. Sağ ve sol türev $x=1$'de eşit ve bunu şekilde belirtmeye çalıştım.

Grafikleri ise şöyle olur: 

Comments

ilginc ben 1 de turevsiz 2 de turevli bulmustum. bir daha bakayim

---

Hocam, bu grafikleri nasil yapiyorsun? Ne guzel oluyor.

---

Paint'te yapıyorum, en kolay öyle geliyor :) Teşekkürler.

Answer 2

a) $F(x) = \left \{ \begin{array} [c]{ccc} 

\frac{x^{2}}{2} & , & x\in (0,1] \cup (2,3]\\

x-\frac{1}{2} & , & x\in (1,2] \\

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2} & , & x\in (2,3]\\

\end{array} \right.$

b) Artık kolay.

c) $x=1$ ve $x=2$ noktalarına bakmamız yeterli olacak. (Neden?)

$x=1$'de türevli ve $x=2$'de türevli değil. 

d) $x\in [0,3]\backslash \{2\}$ için $F'(x)=f(x)$ olduğunu görmek zor olmasa gerek.

Comments

$1 <  x \le 2$ icin $F(x) = x - 1/2$ mi olmali acaba?

---

Öyle mi olmalı?

---

$F(x) = \int\limits_0^1 {tdt + \int\limits_1^x {1dt = 1/2 + x - 1 = x - 1/2} } $

---

Evet haklısınız.

---

c ve d bundan etkilenir mi?

---

Tabi etkilenir. $x=1$ noktası için tekrar hesap yapmak lazım.

---

yapabilirmisiniz size zahmet?

---

1 icin turev tanimsiz cikiyor. 

---

Tekrar bakıyorum hemen

---

Evet $x=1$ noktasında da türevli değil. Cevabı da düzenledim.

---

2 de turev var ama