Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
8.5k kez görüntülendi
Düzlemde,uzayda veya n-boyutlu uzayda; doğrunun tanımı nedir? (İki ucu sınırsız noktalar kümesi değildir.)
Serbest kategorisinde (691 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 8.5k kez görüntülendi
Peki, doğrunun matematiksel tanımı nedir?

Tabi geometriden geometriye değişir gibi geliyor. Ortak bir tanım yapabilir miyiz bilmiyorum. 

1) Örneğin Poincare geometrisinde çember üzerinden alınan iki doğruyu birleştiren her 'şey' doğru'dur. Yani iki noktadan sonsuz doğru geçer.(Bu da matematiksel olmadı.)

2) Riemann geometrisi hakkında pek bir bilgim yok.

3) Öklid geometrisi için tanımın tarihçesi ve tartışması aşağıdaki cevapta var. 

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Nokta , doğru ve düzlem. Bunlar tanımsız terimlerdir.

(11.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Oklid, once bir cizgiyi, bir egriyi tanimliyor. Ondan sonra da dogrunun ne oldugunu tanimliyor.

http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2014/oklid-yunanca-turkce-2014-09.pdf

Linkte Oklid'in Ogeler adli eserinin 1. kitabinin Turkce cevirisi var. Kitabin en basinda tanimlar yer aliyor. Burada dogru, nokta, cember, dik aci vs. tanimlaniyor.

Buradaki tanima gore

(2) Ve bir cizgi, genissizlik uzunluktur.

(4) Bir dogru cizgi, esit olarak uzerindeki noktalara göre oturandir.

Burada aslinda sonlu cizgilerden, dogrulardan bahsediyor. Bizim anladigimiz anlamda dogrudan bahsederken bu dogru parcalarini sonsuza kadar uzatalim diyor. Ornegin 23. tanimda paralel dogrularin tanimi soyle:

(23) Paraleldir doğrular, aynı düzlemde bulunan ve sonsuza uzatılınca her iki tarafta, hiçbir tarafta çarpışmayan.


xxxxxx


Ote yandan, bir baska bakis acisi da soyle. Elimizde herhangi bir kume olsun. Kardinalitesi onemli degil, sonlu olabilir, sonsuz olabilir, sayilabilir olabilir, sayilamaz olabilir. Dogru dedigimiz seyler, bu kumenin bazi ozel alt kumeleri ve su ozellikleri sagliyorlar:

Birbirinden farkli her $A$ ve $B$ noktasi icin, bu noktalarin ikisini birden iceren  bir ve yalniz bir $L$ dogrusu vardir.

Her dogru en az iki nokta icerir.

Ayni dogru uzerinde yer almayan (en az) 3 nokta vardir.

Bu 3 aksiyoma cesit cesit aksiyom ekleyerek afin uzaylar, izdusumsel uzaylar vs vs bircok degisik geometri yaratabiliriz. Ornegin, su aksiyomu eklersek elde ettigimiz uzaya afin uzay diyoruz: Her L dogrusu icin ve L dogrusunun disindaki bir $A$ noktasi icin, bir ve yalniz bir $L'$ dogrusu vardir $A$'yi iceren.



xxxxxx


Elimizde bir vektor uzayi $V$ olsun. Bu vektor uzayinda bir dogru dedigimiz zaman 1-boyutlu bir altuzay anliyoruz. Ornegin $\mathbb{R}^n$'de sifirdan farkli bir $v$ vektoru alalim. $v$ vektoru ile gerilen uzay $\{ av : a \in \mathbb{R}\}$'dir. Gercekten de bu bizim algimizdaki dogruya karsilik gelir. Mi? Tam olarak degil, cunku bunlar sadece orijinden gecen dogrular. Bunlari biraz oteleyebiliriz. Yani bizim algiladigimiz anlamda (!) dogrular (afin dogrular) sifirdan farkli herhangi bir vektorun tum reel katlarini bir $b$ vektoru ile otelemek. (Burada yanlis olabilirim. Herhangi bir $b$ vektoru is yapar mi?). En basit ornek alarak $\mathbb{R}^2$'yi al. Sifirdan farkli bir eleman alalim. Mesela $(1,2)$. O zaman, bu vektorle gerilen 1- boyutlu uzay $(x,2x)$ ikililerinden olusan $y = 2x$ dogrusudur.



xxxxxx



Bir vektor uzayi degil ama bir manifold olsa elimizde ne olur? Buna bir cevap verebiliyor olmam lazim ama veremiyorum. Iki nokta arasindaki en kisa mesafe nedir? gibi bir sorudan yola cikiyor olabiliriz.

(2.5k puan) tarafından 
Algımızdaki doğruyu değişik şekillerde tanımlayabiliyoruz anlaşılan. Şu tanım iş görür mü:
$\mathbb{R}^n$ de bir eğriye $doğru$ diyelim ancak ve ancak üzerinden alınan rastgele dört nokta ikişerli gruplandırıldığında, oluşan üçgen( mi?) ler benzer oluyorsa.

Manifold olursa ne olur? Sorusuna ben de bir cevap bulamadım.


(Pseudo) - Riemannian Manifoldlar icin sanirim dogruya en yakin konsept geodezikler. "Dogru" lar iki nokta arasindaki en kisa mesafe olmuyor her zaman (bkz. kure) ama dogrularin duz olma sezgisi ile ortusuyor. Geodezikleri kullanarak konvekslik gibi kavramlari riemmaninan manifoldlara genellestirmek mumkun oluyor.

Geodeziklerle yakindan ilintili exponensiyel harita gibi bir konseptte mevcut. Manifold uzerinde bir noktadan, belli bir yonde (yon burada o noktaki tanjant uzayinda yasayan bir vektor) hareket etmemizi sagliyor. Burada bir yerde parallel transport un oneminden de bahsetmek gerek sanirim.

Birde obur tarafta projektif geometrideki dogrular vardi sanki.

Hic bakmadim ama sanirim Konvekslik Uzaylari (convexity spaces) diye bir tanim da varmis konveks kumeleri genellestiren. Tahminimce orada da dogruya karsilik gelen bir obje vardir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım. {$(x,y)$ $\in$ $\mathbb{R}^2$: $ax+by=\gamma $} ve $\lambda$={$(x,y)$ $\in$ $\mathbb{R}^2$: $y=\alpha x+\beta$} için,

    bir doğru   $ax+by=\gamma $ tarafından verilen denklemdir ve denklemdeki $\alpha$, $\beta$ sıfıra eşit değil.


 Verdiğim tanımı tartışabiliriz.

(45 puan) tarafından 
Bir dogruyu bir denklem olarak tanimladik yani? Yanlis olmasi icin bir sebep goremiyorum ama amac geometri yapmakken biraz daha geometrik sezgi olmali sanki, diye dusunuyorum. 

Sezgilerimizi içimize saklayalım. :)

20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,154 kullanıcı