Matrisin ranki demek, sutun vektorlerinin gerdigi uzayin boyutu demek, ya da baska bir deyisle lineer bagimsiz sutun vektorlerinin sayisi. Eger butun sutun vektorleri lineer bagimsiz ise (yani bir sutun vektorunu diger sutun vektorlerinin lineer kombinasyonu seklinde yazamiyor isek) burada rank $3$ olur. Eger elimizde sadece $2$ tane lineer bagimsiz vektor varsa, ve ucuncu sutun vektoru bunlarin lineer kombinasyonu seklinde yazilabiliyorsa, bu durumda rank $2$ olur. Eger elimizde $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$ varsa rank $1$ olur. Cunku butun vektorler ayni vektorun katlari. Bu tanim kare olmayan vektorler icin de gecerli, dolayisiyla determinant olmadan da yapabilirsin. Ama kare matrisler icin determinant da kullanabilirsin. Ornegin determinantin sifir olmamasi burada rankin $3$ oldugunu soyler, determinantin sifir olmasi ise $0, 1$ ya da $2$ oludugunu. Senin ozel durumunda ise birinci ve ucuncu sutun vektorlerin birbirinin kati olmadigini gorebiliyoruz. Dolayisiyla en azindan iki tane lineer bagimsiz sutun vektoru var. Yani rankimiz en az $2$ ($2$ ya da $3$ olabilir). Rankin $2$ olmasini istiyorsak determinanti sifir yapan $x$ degerlerine bakabiliriz. Bu birinci yontem. Ikinci yontem de en yukarida yazdigimiz tanimdan hareketle hangi $x$'ler icin ikinci sutun vektorunun birinci ve ucuncu sutun vektorunun gerdigi uzayda oldugunu bulmak. Yani,
$$a \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ seklinde $a, b$'ler olmasini saglayacak $x$ degerini bulacaksin. Bu da ikinci ve ucuncu siradan gelen iki tane iki bilinmeyenli denklemi cozup $a, b$'leri bulmak ve bunu birinci sirada yerine koyup $x$'i bulmak demek.
Bence ikincisi daha kolay.