Question

0 polinomunun derecesi nedir? nedendir?

Comments

Sıfır polinomu $P(x)=0=0.x^n+0.x^{n-1}+0.x^{n-2}+...+0.x+0$ olarak düşünüldüğünde derecesi ne olur? Belirsiz değil mi?

---

aynen hocam haklısınız, ben ,derecesi 0 olanları açıkladım.

---

Senin açıklaman tabii ki daha doyurucu.

---

Teşekkürler hocam ancak,

sonsuz kavramından haberdar değil isek belki tanımsız diye yorumlayabiliriz?

---

burada $-\infty$ değil herhangi  negativ sayı olabiliyor.Benim anlamadıgım neden illa da  $-\infty$

---

Yasak çiğneyeceğim biraz, affola..

---

yasak cevaplar içindi, böyle  atmakta sıkıntı yok ,ben birkaç şey buldum, derleyip yazarım.

---

Cevap - 1.Ama nasıl ispat olunduğunu bilmiyorum. Cevap 100%   "- 1"

---

Zin, senin fotografında anlatılan nedenden derece eksi sonsuz. Sıfırdan farlşı iki polinomun çarpımlarının derecesi toplamlarına eşit oluyor her zaman. Aynısı, bir tanesi sıfır polinomu olunca da doğru olsun istiyoruz. Bir bakıyoruz, bu şartın sağlanabilmesi için der(0 polinomu)= der(0 polinomu)+n eşitliğinin her n için sağlanması gerekiyormuş. O halde...

Answer 1

Polinomlarda derece işlemleri var.İşlemlerden biri de şudur,

$P[x]$   ve    $Q[x]$  iki polinom olsun.Bu iki polinomu çıkarıp ,toplarsak, elde edeceğimiz polinomun derecesi bu iki polinom için ,derecesi en büyük polinomdan daha küçük olacaktır.Yani,

$\boxed{\boxed{der(P\pm Q)\le max\{der(P) ,der(Q) \}}}$

Buradaki $max\{der(P) ,der(Q) \}$ 'in anlamı şudur:

$max\{der(P) ,der(Q) \}=k$  olsaydı

İki polinomdan derecesi büyük olan polinomun derecesi $k$ ya eşit olurdu.

Bu tanım şeysinden yola çıkarak.İki polinom seçelim $P[x]$   ve    $Q[x]$ .

Ve $P=-Q$  olsun. ve $P[x]+Q[x]=0$ olduğu rahatça görülebilir.

$\boxed{\boxed{der(P\pm Q)\le max\{der(P) ,der(Q) \}}}$   kuralını kullanırsak 


$der(P+Q)=der(0)\le max\{der(P) ,der(Q) \}$      olur, Peki $P=-Q$ eşitiliğinden 2 polinomun da derecelerinin eş olduğunu görebiliyor muyuz?
Evet bu derece $3,5,6,n$ gibi bir pozitiv tam sayı olabilir....Dolayısıyla

$der(0)\le max\{der(P) ,der(Q) \}=der(Q)$  böyle yazabiliriz ve hatta,$der(Q)=n$ diyip

$der(0)\le n$ diyebiliriz.Aralığı kısıtlamak için  n'nin alabileceği en küçük değer olan 0 ı alalım çünki polinomlar negativ derecelerde tanımlı değil (0 polinomu istisnası hariç).

dolayısıyla görülüyorki 0 polinomunun derecesi her negativ sayı için sağlanıyor peki neden $-\infty$?

Çünki eğer $der(0)=-2$ alırsak sağlanırdı ama $der(-3)$ alsaydık ta sağlanırdı, bu çok başlılığı ve belirsizliği önlemek için en uygun şey $-\infty$ dir ve diğer bir sebeb ise $der(0)=a$ olsaydı ;

$n.a=a$ eşitliği olacağından(0 polinomla başka herhangi bir polinomun çarpımı gene 0 polinom olduğundan böyle bir eşitlik yazdık)

$a=der(0)$ burada ya $-\infty$ ya da $\infty$   olabilir, ancak yukarda gösterdiğimiz üzere $a$ ancak negativ olabilirdi, dolayısıyla $-\infty$ bizim 0 polinomunun derecesiymiş.

Comments

Anladım. Emeğinize sağlık, çok teşekkür ederim!

---

teşekkür ederim, aklıma gelirse daha güzel şeyler de yazarım. iyi çalışmalar.

---

Cevab -1 aslında. Nasıl ispat olunduğunu bilmiyorum ama Profesör Nazim Kerimov 0 polinomunun derecesinin - 1 olduğunu söylemişti. Çok karışık bir ispatı var. 

Answer 2

Derecesi 0 olan polinomlar ve 0 polinomları karıştırmamak lazım:
 
Derecesi 0 polinomlar:


Derece nedir?

Polinomdaki katsayıları belirten "anlamsız" bir şey.

$h$ bir polinom ise;

$h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3+....+h_nx^n$ ise bu polinom $n$'inci derecedendir deriz ama çok saçma çünki aslında bu ve diğer her polinom birer sonsuz polinomdur şöyleki,


$h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3+....+h_{n-1}x^{n-1}+h_nx^n+\underbrace{0.x^{n+1}+0.x^{n+2}+........}_0$ olarak sonsuza dek gidiyor ama bir yerden sonra hep "0" oluyor.

 $h_n\neq0$ olarak kabul edersek bu $h$ polinomuna  bu yüzden $n$'inci dereceden diyoruz.

Aslında her sayı birer polinomdur örneğin $3$

$3=3+\underbrace{0.x+0.x^2+0.x^3+0.x^4+............}_0$

$h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3+....+h_nx^n$ polinomunda $h_0$ 0.dereceden terimin katsayısı

$h_1$ 1.dereceden terimin katsayısı vs vs.

çünki oradaki değişken olan $x$ değişkeninin kuvvetine göre derece diyoruz, olay bundan ibaret.

Dolayısıyla her reel sayı bır 0 dereceden polinomdur yani $x^0$ dır.

SIFIR POLİNOMLAR:

Sıfır polinomlar nedir?

Her zaman 0 a eşit olan polinomlardır.

$h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3+....+h_nx^n+.........$  gibi bır polınom var ise ve bu $h$ polinomu 0 polinom ise

$\forall x\quad\quad h(x)=0$ olur. O zaman,

$h(x)=0=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3+....+h_nx^n+.........$

Asıl soru şöyle de olabilir.Derecesi belli bir polinom 0 polinom olabilir mi?

Nasıl olabilir? mesela $x^2+2x+1=h(x)$ polinomunun çakışık 2 kökü vardır ama bu bir 0 polinomu mudur?
HAYIR! çünki her x için bu polinom 0 polinomu olmaz.

tüm terimlerinin katsayıları 0 olan polinom 0 polinomu olur, ama kaç tane terimi olduğunu bilmemiz olanaksızdır(bence), dolayısıyla kaç terimi oldugunu bılmedıgımızden $x^n$ deki $n$ sayını asla bilemeyiz ve derecesini kestiremeyiz dolayısıyla derecesi belirsiz olur(bence).

Comments

Anıl; sıfır polinomunun derecesi $-\infty$. Ancak bazı kaynaklarda böyle tanımlanır şeklinde açıklamalar mevcut. Şimdi hatırlamıyorum ama bunun böyle olduğunun bir ispatını okumuştum. Yani; sıfır polinomu özel bir durum.

---

0 polinom derken derecesı 0 olanı açıkladım, komple 0 polınom bu değildir. haklısınız.

---

Ama soruda istenen cevap; yazmış olduğun değil. Yani; $-\infty$ ve neden? (Tabi benim anladığım).

---

hocam düzelttim ,asıl soru hakkındaki cevabımı ekledim.Bence belirsizdir.Sizce neden  $-\infty$ ?

---

Bencesi ya da sencesi yok bunun. İspatı var demiştim ya. Hatırlayamadım. Fırsat bulduğumda okuyup yazacağım.

---

Anladım ,kusura bakmayın hocam, matematik litarütürüne alışmaya çalışıyorum çok kabaca baktıgımta belirsiz olabilir dedim, tabikide bence ve sencesi yoktur. saygılar.

---

Merhaba, zaman ayırdığınız için ve değerli cevaplarınız için 
teşekkür ediyorum.
Aslında sormak istediğim 
sıfır polinomunun derecesinin neden (-) sonsuz olduğu idi. 
Şöyle ki,0 polinomunun derecesi a olsun. 
Bunu n'inci dereceden bir polinomla çarparsak,
derece:
a+n=a olmalıdır.
Bu durumda derecenin artı veya eksi sonsuz olabileceğini görüyoruz. 
Fakat kitaplarda eksi sonsuz olduğu yazıyor.
Bunun nedenini öğrenmek istemiştim. 
Dediğiniz gibi P(x) sıfır polinomu iken, 
3=3+P(x) polinomunun derecesinin 0 olduğunu biliyoruz. 
Sanırım bundan dolayı,P(x) gittikçe küçülen bir şey olsun ki, 
cevabımız reel sayının derecesi olabilsin. 
Ne düşünüyorsunuz? 

---

Soruyu ilk okudugumda,dıkkatsızlıgımden yanlış soruya cevap vermışım , şimdi cevaba ekleme yaptım ama iyice araştırıp tekrar birşeyler yazmaya çalışırım.
Ama asıl gizem tanımda yatmalı, 0 polinom nedir? ve 


$P(x)=0+0x+0x^2+0x^3+0x^4$ de bir 0 polinom

$P(x)=0+0x$ de bir 0 polinom derecenin neden $-\infty$ olması gerektiğine dair inanılmaz bir merak başladı. En kısa zamanda yazmaya çalışırım.