Boşkümeden boşkümeye giden tek bir fonksiyon olduğunu ve bu fonksiyonun bir eşleşme olduğunu gösteriniz.

Question

Sezgisel Kümeler Kuramı (A. Nesin) kitabından.

Yaptığım çözümü cevap olarak ekleyeceğim.

Cevabımın makul olup olmadığından emin değilim ve farklı bir şekilde cevap verilebilir mi onu merak ediyorum.

Answer 1

$X$ ve $Y$ herhangi iki küme (boş küme de olabilir) olmak üzere

$$\alpha, \,\ X\text{'den} \,\ Y\text{'ye bağıntı}:\Leftrightarrow \alpha \subseteq X\times Y$$

Aşağıdaki iki önermeyi doğru kılan $\alpha$ bağıntısına $X$'den $Y$'ye bir fonksiyon denir.

$1)$ $(\forall x\in X)(\exists y \in Y)((x,y)\in \alpha) $

$2)$ $(\forall x\in X)(\forall y,z\in Y)[((x,y)\in \alpha \wedge (x,z)\in \alpha)\rightarrow y=z]$

Şimdi $X=Y=\emptyset$ alalım ve boş kümeden boş kümeye tanımlı bağıntıyı $\varphi$ ile gösterelim. O halde $\varphi \subseteq \emptyset \times \emptyset = \emptyset $ olduğundan $\varphi = \emptyset$ olacaktır.

$$(\forall x\in \emptyset)(\exists y \in \emptyset)((x,y)\in \varphi) \equiv \forall x[x\in \emptyset \rightarrow (\exists y\in  \emptyset )((x,y)\in \varphi)]\equiv 1 $$ yani birinci önerme doğru.

$$\left[ ((x,y)\in \emptyset \wedge (x,z)\in \emptyset)\rightarrow y=z\right]\equiv [(0 \wedge 0)\rightarrow y=z]\equiv 1$$ yani ikinci önerme de doğru olur. O halde $$\varphi: \emptyset \rightarrow \emptyset$$ bağıntısı bir fonksiyondur ve buna boş fonksiyon denir.

Gelelim şimdi boş fonksiyonun bir birebir eşleme olduğunu göstermeye. Bunun için boş fonksiyonun birebir ve örten olduğunu göstermeliyiz.

$$(\forall x_1,x_2\in \emptyset)[x_1\neq x_2\rightarrow \varphi(x_1)\neq \varphi(x_2)]\equiv 1$$ yani boş fonksiyon birebir.

$$(\forall y\in \emptyset)(\exists x \in \emptyset)((x,y)\in \varphi) \equiv 1$$ yani boş fonksiyon örten.

O halde boş kümeden boş kümeye tanımlı boş bağıntı bir fonksiyondur. Hem de birebir ve örten bir fonksiyondur.

Answer 2

Boşfonksiyona $B$ diyelim.

$B : \emptyset \to \emptyset$

$n$ elemanlı kümeden $m$ elemanlı kümeye giden $m^n$ tane fonksiyon vardır.

Biriciktir, çünkü; tanım kümesi $\emptyset$ ve hedef kümesi $\emptyset$ olduğundan $|\emptyset|^{|\emptyset|} = 1$ dir.
Ve bu fonksiyon ise, boşfonksiyondur.

Birebirdir, çünkü; $\emptyset$ 'in hiç elemanı, $\emptyset$ 'in hiç elamanına gider.

Örtendir, çünkü; $\emptyset$ hiç elemanı boşta kalır.


O halde bu bir eşleşmedir(bijeksiyon).

Comments

Başlangıç kısmı şöyle olsa hem daha hızlı hem de itiraz edilemez ($0^0$ neden 1) olmaz mı? 

$\emptyset\times\emptyset=\emptyset$ onun tek bir altkümesi ($\emptyset$) vardır, o da fonksiyon olma koşullarını sağlar. (Sonrası gayet güzel)

---

Haklısınız. Vakit ayırıp incelediğiniz için çok teşekkür ederim.