$0$ ve $1$ doğal sayı olsun. Bu durumda $0=[\emptyset]$ ve $1=[\{a\}]$ yazabiliriz. Doğal sayıları sonlu kümelerin oluşturduğu $\mathcal{A}$ ailesi üzerinde tanımlı $$\beta=\{(A,B)|(\exists f\in B^A)(f, \text{ bijektif})\}\subseteq\mathcal{A}^2$$
denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıfı olarak tanımladığımı belirteyim.
Doğal sayılarda eşitlik $[A],[B]\in\mathbb{N}$ olmak üzere
$$[A]=_{\mathbb{N}}[B]:\Leftrightarrow (\exists f\in B^A\cup A^B)(f,\text{ bijektif})$$ şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla iki doğal sayının eşit olmaması
$$[A]\neq_{\mathbb{N}}[B]:\Leftrightarrow (\forall f\in B^A\cup A^B)(f, \text{ bijektif değil})$$
anlamına gelecektir. O halde kuralı ne olursa olsun
$$f:\emptyset\to\{a\}$$
fonksiyonu bijektif olmadığından boş kümenin denklik sınıfının temsil ettiği doğal sayı ile tek elemanlı $\{a\}$ kümesinin denklik sınıfının temsil ettiği doğal sayı birbirinden farklıdır. Yani
$$0=[\emptyset]\neq [\{a\}]=1$$