Question

Her $k$ tek doğal sayısı ve her pozitif $n$ doğal sayısı için, $1^k+2^k+\cdots+n^k$ nın $1+2+\cdots+n$ ile bölünebildiğini gösteriniz.

Comments

$k$ tek sayısı için $x^k+y^k$ nın $x+y$ ile bölünebilmesi olgusu kullanılabilir diye düşünüyorum: Seride bir baştan, bir sondan terimleri toplayarak toplamın $n(n+1)/2$ ile bölünebildiğini kanıtlayabiliriz sanırım.

Answer 1

Alper Çay hocamın gösterdiği yönde işlemler yapabiliriz. $k=1$ iken durum açıktır. $k\geq 3$ tek sayıları için devam edeceğiz.

$S= 1^k+2^k+\cdots+n^k $ diyelim.

$$ 2S = \sum_{m=0}^{n} [m^k + (n-m)^k] \tag{1}$$

$$ 2S = \sum_{m=1}^{n} [m^k + (n+1-m)^k] \tag{2}$$

toplamlarını oluşturalım. $k$ tek pozitif tam sayı olduğu için $x^k + y^k$ ifadesi $(x+y)$ çarpanı içerir. Bu özelliği kullanarak, $(1)$ de $m+ (n-m) = n$ olup $n\mid 2S$ ve $(2)$ de $m+ (n+1-m) = n+1$ olup $(n+1)\mid 2S$ elde edilir. $\text{obeb}(n,n+1)=1$ olduğundan $ n(n+1) \mid 2S $ bulunur. $n(n+1)$ çift sayı olduğundan $$ \dfrac{n(n+1)}{2} \mid S $$ yazabiliriz. Göstermek istediğimiz de buydu $\blacksquare$