Question

$y=x$ $( 0\leq x\leq1)$ grafiğinin sıfır alanlı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Dogru parcasinin alani olmaz. illa bir ispat gerekirse: dondurme ile alan degismez. Eger orijinden $45^o$ saat yonunde cevirirsek ($y=0$, $0 \leq x \leq \sqrt2$ elde edecegimizden) alan $\int \limits_0^{\sqrt2} 0 dx=0$ olur ya da $\int \limits_0^0 \sqrt2 dy=0$ olur. (Aynisini $45^o$ saat yonunun tersine cevirerek de yapabiliriz.)

Comments

Eğer doğru parçası alansız ise, belirli integralle hesaplanan aslında yan yana olan doğru parçalarının alanları toplamı değilmidir. Ayrıca doğru parçası alansız ise bu bize noktaların alansız olduğunu söyler. Bu da bir sürü sorunun kaynağı demektir. Çok önemli bir tartışma yerindeyiz diye düşünüyorum.

---

Tartismaya gerek yok bence, cunku bu tanimlar yapilmis ve biz zaten yapilmis tanim uzerine konusuyoruz. Tanim degistirmek apayri bir husus. Alani integral olarak ifade ediyorsak, dogrunun alani da $0$'dir, noktanin alani da. Noktayi orijine tasirsak $\int \limits_0^0 0 dx=0$'dir.

Ki biz alan hesaplarken dogrularin degil dikdortgenleri topluyoruz. Yanyana istedigimiz kadar cizgi koyalim, bir alan ifade etmez. Cunku eni hep $0$'dir. Tum metriklerde $d(a,a)=0$'dir (ki bu gercek hayata da uygundur). Bi aralik belirtmedikce alan sifirdir. $(a,b)$ araliginda $a \neq b$ ise sayilamaz nokta vardir, yani cizgi 1 cizgi2 cizgi3 diye bu alani dolduramayiz. Fakat boyu $\frac{b-a}n$ olan $n$ tane dikdortgen vardir, bu sekilde $n$ tane dikdortgenle alani doldurabiliriz.

Answer 2

http://matkafasi.com/2565/belirli-integral?show=2577#a2577 deki AliTas in cevabına yaptığım yoruma bir bakın.Orada daha genel bir durumun ispatı var .