Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
3.3k kez görüntülendi

$a,b \in Z^+$ ve $a,b<100$ olmak üzere, 

$a\sqrt{2a+b}=b\sqrt{b-a}$

denklemini sağlayan kaç farklı $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 3.3k kez görüntülendi

Güzel bir soru, paylaşmak istedim. Bu arada trigonometrik toplam-fark çözümlerinizi gördüm ama bu aralar biraz meşgul olduğumdan ve biraz daha kendim uğraşmak istediğimden henüz incelemedim, ilgililere duyurulur :)

bu soruyu dün karekök denemesinde görüp boş bırakmıştım merak ettim şimdi cevabı :)

Bana da arkadaş sormuştu, epey düşünüp öyle görebilmiştim. Kaliteli bir soru.

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$b \ge a$ olmak uzere $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{2a+b}{b-a}$$ ve bu durumda $$(b/a)^2=\frac{2+(b/a)}{(b/a)-1}$$ olur. $b/a=u$ dersek $$(u-2)(u^2+u+1)=0$$ olmali.  Kisacasi $$b=2a$$ olmali.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Sağ taraftaki kökün içi      $b-a\geq0\Rightarrow b\geq a$    olmalıdır.  Her iki tarafın karesi alınırsa 

$$a^2(2a+b)=b^2(b-a)\Rightarrow 2a^3+a^2b=b^3-ab2$$

$$a^3+a^2b+ab^2=b^3-a^3$$

$$a(a^2+ab+b^2)=(b-a)(a^2+ab+b^2)$$

$$a=b-a\Rightarrow b=2a$$ olur. $$a=\{1,2,3,...,49\}$$ değerlerini alacağından istenilen koşulu sağlayan $49$ adet $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır.


(19.2k puan) tarafından 

Teşekkürler hocam.

Önemli değil.Kolaylıklar ve iyi çalışmalar diliyorum.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Alternatif çözüm olarak, öncelikle her iki tarafın karesini alalım. 

$2a^3+a^2b=b^3-ab^2$

Ardından birazcık düzenlemeyle 

$a^3+a^2+ab^2=b^3-a^3$

$a(a^2+ab+b^2)=(b-a)(a^2+ab+b^2)$

$a=b-a$

$a=2b$

bulabiliriz. Bu durumda çözüm kümesi $\{(1,2),(2,4)\cdots(48,96),(49,98)\}$ olur. Buna göre $49$ farklı $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır.

(2.9k puan) tarafından 

Tamamen aynisi aslinda bu. $u$ seklinde yazmamin sebebi, simetrik polinomlari baside indirgemek. Bu cok kullanisli.

Benim aklıma bu şekilde gelmişti hocam paylaşmak istedim. Peki bunlardan daha farklı çözüm yolu bulabilir miyiz?

O kadar cozum yolu bulmaya gerek yok. Kokten kurtulma ve polinom cozme. Standart. Yani naparsan yap bence daha zor bir yonteme gider. gerek yok. Fikrim bu, sen ne diyorsun?

Gerek olmadığını biliyorum. Fakat bir şeyi yapmanın birden fazla yolu varsa neden bir tanesiyle yetineyim?

Cunku omrumuz fani ve bazi seyler icin bir yolla idare etmeliyiz :) 

Cevap değil çözüm önemli benim için hocam :)

Anlamli soz ama konu ile iliskisi nedir? :)

Farklı çözüm istedim ya hocam ondan :)

Diyorsun ki benim de komikli sozum olsun :)

Yok hocam ben komedi sektörünü size terk ettim ailecek takip ediyoruz :)

Matematik eyvallah da, komedi sektorunde ekmegimi yedirtmem :)

Matematik eleştiriyle, komikli video alkışla gelişir. Bu yüzden ben muhalefet oldukça matematikten, ben alkışladıkça komediden ekmek yersiniz :)

uuuuuuuuu vuh'huuuuuuuu :) 

Çok mu pis vecize yazdım? :)

ama boyle sorarsan buyu bozulur, aha gitti tum o pislikler :)

Ben de bu aralar tüm tuzaklara atlıyorum, kolu bacağı kaptırmasak bari :)

ortada tuzak yokken tuzaga dusmek :) Moriartied ft. Yakup.

Tuzak buldun atla, tuzak bulamadın; tuzağı oluştur, yine atla :)

20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,078,608 kullanıcı