Kaç farklı $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır?

Question

$a,b \in Z^+$ ve $a,b<100$ olmak üzere, 

$a\sqrt{2a+b}=b\sqrt{b-a}$

denklemini sağlayan kaç farklı $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır?

Comments

Güzel bir soru, paylaşmak istedim. Bu arada trigonometrik toplam-fark çözümlerinizi gördüm ama bu aralar biraz meşgul olduğumdan ve biraz daha kendim uğraşmak istediğimden henüz incelemedim, ilgililere duyurulur :)

---

bu soruyu dün karekök denemesinde görüp boş bırakmıştım merak ettim şimdi cevabı :)

---

Bana da arkadaş sormuştu, epey düşünüp öyle görebilmiştim. Kaliteli bir soru.

Answer 1

$b \ge a$ olmak uzere

$$\frac{b^2}{a^2}=\frac{2a+b}{b-a}$$ ve bu durumda $$(b/a)^2=\frac{2+(b/a)}{(b/a)-1}$$ olur. $b/a=u$ dersek $$(u-2)(u^2+u+1)=0$$ olmali.  Kisacasi $$b=2a$$ olmali.

Comments

Teşekkürler hocam.

Answer 2

Sağ taraftaki kökün içi      $b-a\geq0\Rightarrow b\geq a$    olmalıdır.  Her iki tarafın karesi alınırsa 

$$a^2(2a+b)=b^2(b-a)\Rightarrow 2a^3+a^2b=b^3-ab2$$

$$a^3+a^2b+ab^2=b^3-a^3$$

$$a(a^2+ab+b^2)=(b-a)(a^2+ab+b^2)$$

$$a=b-a\Rightarrow b=2a$$ olur. $$a=\{1,2,3,...,49\}$$ değerlerini alacağından istenilen koşulu sağlayan $49$ adet $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır.

Comments

Teşekkürler hocam.

---

Önemli değil.Kolaylıklar ve iyi çalışmalar diliyorum.

Answer 3

Alternatif çözüm olarak, öncelikle her iki tarafın karesini alalım. 

$2a^3+a^2b=b^3-ab^2$

Ardından birazcık düzenlemeyle 

$a^3+a^2+ab^2=b^3-a^3$

$a(a^2+ab+b^2)=(b-a)(a^2+ab+b^2)$

$a=b-a$

$a=2b$

bulabiliriz. Bu durumda çözüm kümesi $\{(1,2),(2,4)\cdots(48,96),(49,98)\}$ olur. Buna göre $49$ farklı $(a,b)$ tamsayı ikilisi vardır.

Comments

Tamamen aynisi aslinda bu. $u$ seklinde yazmamin sebebi, simetrik polinomlari baside indirgemek. Bu cok kullanisli.

---

Benim aklıma bu şekilde gelmişti hocam paylaşmak istedim. Peki bunlardan daha farklı çözüm yolu bulabilir miyiz?

---

O kadar cozum yolu bulmaya gerek yok. Kokten kurtulma ve polinom cozme. Standart. Yani naparsan yap bence daha zor bir yonteme gider. gerek yok. Fikrim bu, sen ne diyorsun?

---

Gerek olmadığını biliyorum. Fakat bir şeyi yapmanın birden fazla yolu varsa neden bir tanesiyle yetineyim?

---

Cunku omrumuz fani ve bazi seyler icin bir yolla idare etmeliyiz :) 

---

Cevap değil çözüm önemli benim için hocam :)

---

Anlamli soz ama konu ile iliskisi nedir? :)

---

Farklı çözüm istedim ya hocam ondan :)

---

Diyorsun ki benim de komikli sozum olsun :)

---

Yok hocam ben komedi sektörünü size terk ettim ailecek takip ediyoruz :)

---

Matematik eyvallah da, komedi sektorunde ekmegimi yedirtmem :)

---

Matematik eleştiriyle, komikli video alkışla gelişir. Bu yüzden ben muhalefet oldukça matematikten, ben alkışladıkça komediden ekmek yersiniz :)

---

uuuuuuuuu vuh'huuuuuuuu :) 

---

Çok mu pis vecize yazdım? :)

---

ama boyle sorarsan buyu bozulur, aha gitti tum o pislikler :)

---

Ben de bu aralar tüm tuzaklara atlıyorum, kolu bacağı kaptırmasak bari :)

---

ortada tuzak yokken tuzaga dusmek :) Moriartied ft. Yakup.

---

Tuzak buldun atla, tuzak bulamadın; tuzağı oluştur, yine atla :)