$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty} \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n$

Question

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n$$ limitinin degerini hesaplayiniz.

Answer 1

Sonlu integral durumunu hesaplayalim. $$\int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n$$ icin $u_i=1-x_i$ donusumu uygularsak integralimiz $$\int_1^0 \int_1^0...\int_1^0 (-1)^n \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(n-u_1+u_2+...u_n)\right)du_1 du_2...du_n$$ olur ve her bir eksi ile sinirlari degistirirsek ve $\cos (\frac{\pi}2-a)=\sin a$ oldugunu kullanirsak integralimiz $$\int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \sin^2\left(\frac{\pi}{2n}(u_1+u_2+...u_n)\right)du_1 du_2...du_n.$$ Bu durumda integralimizin iki kati $$\hspace{-5cm} \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n+ \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \sin^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n$$ $$\hspace{-2cm}= \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \left[\cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)\right]dx_1 dx_2...dx_n$$ $$= \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1dx_1 dx_2...dx_n=1$$ olur. Bu da her sonlu integralin $$\dfrac12$$ oldugunu verir ve  $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+...x_n)\right)dx_1 dx_2...dx_n=\lim_{n\to \infty}\frac12=\frac12$$ olur.

Comments

Hocam elinize ve emeğinize sağlık. Site sizin sayenizde çok güzel sorular ve çözümlerle zengineşiyor. Ben limite geçmeden önce bulduğunuz $\frac 12$ yi nasıl bulduğunuzu anlamadım. Orayı biraz açıklamanız mümkün mü? Acaba .Çok teşekkürler.

---

Integralimizin donusturup, donusturdugumuz ile toplayinca  iki katinin $$= \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1dx_1 dx_2...dx_n=1$$ oldugunu bulduk, $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ ile. Bu nedenle integral $1/2$'ye esit olmus oldu.

Integralin $1$'e esit olmasi biraz bariz, teker teker icten integral alinca hep $\int_0^1dx_i=1$ olacak ve sonunda $1$ kalacak.

---

Evet. Ben iki katı aldığınızı kaçırmışım. Teşekkürler...