Esas ideal bolgesinde asal idealler maksimal idealdir.

Question

Gosteriniz: Esas ideal bolgesinde (bu ringe $R$ diyelim ) asal idealler maksimal idealdir. ($0$ ve $R$ idealleri haric)

Answer 1

$<p>=P$ bir asal ideal olsun ve  $P\subset M=<m>$ olsun. $p\in M$ olduğu için

$$p=mk$$ for some $k\in R$. Dolayısıyla $mk\in P$ dir ama $m\notin P$ olduğu için $k\in P$ dir. Dolayısıyla 

$$k=ps$$ dir. Sonuç olarak $$p=msp$$

$$p(1-ms)=0$$

Aynı zamanda $R$ integral domain olduğu için $1=ms$ elde ederiz. Dolayısıyla $1\in M\implies M=R$ dır.