Degismeli ve birimli halka kosulunda:
x,y∈R ve xy∈M olsun, burda R halkamiz, M de R icerisindeki herhangi bir maksimal idealimiz. Amac x∈M ya da y∈M oldugunu gostermek. Neden? Cunku asal idealin tanimlarindan biri bu. Bunu gostermemiz demek M'nin asal ideal oldugunu gostermemiz demek.
Hadi diyelim ki x elemani M'nin elemani olmasin. (Zaten olmasi isimize gelir. Su an amacimiz olmadigi durumlarda y elemaninin icinde oldugunu soylemek.)
x∉M dedik, yani M⊂<x,M> ve <x,M>≠M. Tabi biz basindan beri M'nin maksimal oldugunu kabul ediyoruz. Bu da bize sunu diyor: <x,M>=R.
Simdi bu ikisinin esit olmasi nedir? Hangi bilgiyi verir? En basitinden 1∈R=<x,M> olmasi bize sunu soyler:
oyle a∈R,m∈M vardir ki 1=ax+m olur.
Biri bir sekilde yazmak guzeldir. Neden? Artik r=rax+rm olur. Burda eger rax elemani M'de ise r de M'de olur. Hatta rx∈M ise.
Simdi amacimiz neydi? x∈M olmadigi durumda (ki basindan beri bu durumdayiz)
y∈M oldugunu gostermek..
Artik bunu soyleyebilir miyiz?