HER MAX İDEAL ASAL İDEALDİR.GÖSTERİNİZ.

Question

Her maksimal ideal asal idealdir.Gösteriniz.Arkadaşlar yardımcı olun sınav sorusu.

Comments

Sınav sorusuysa senin çözmen gerekiyor. Biz yardımcı olabiliriz ama. Nerede takıldın?

---

rmznclbn bize ideal, maksimal ideal ve asal ideal tanımlarını yapar mısın?

---

<p>
     Hocamiz ödev olarak bırakti bizde biraz aradik taradik ama bizim hoca cevaplari biraz net istiyor.Tanimlari disinda pek bir bilgimiz yok sadece her cisim tamlik bolgesidir mantigiyla yapilabilecegini ogrendik ama nasil uydurulur bilemedik.Yardimci olursaniz seviniriz.
</p>

---

İDEAL:R Halka ve J,R nin alt halkası olsun.J nin ideal olmasi icin gerek ve yeter sart her s eleman J ve her x eleman R icin s.x ve x.s J nin elemani olmalidir.
<div>
     ASAL İDEAL:R değismeli halka ve I da R nin bir ideali olsun.
</div>
 
<div>
     a,b eleman I icin a.b elemani R ise a elemani I veya b elemani I ise I ya R nin asal ideali denir.
</div>
 
<div>
     MAKSIMAL IDEAL:R bir halka ve I,R nin bir ideali olsun.I alt kume K o da alt kumesidir R olacak sekilde bir K ideali yoksa,I ya R nin maksimal ideali denir.
</div>

---

Sorunun basligini da duzeltebilirseniz? Max nedir? 

Answer 1

Degismeli ve birimli halka kosulunda: 

$x,y \in R$ ve $xy \in M$ olsun, burda $R$ halkamiz, $M$ de $R$ icerisindeki herhangi bir maksimal idealimiz. Amac $x\in M$ ya da $y \in M$ oldugunu gostermek. Neden? Cunku asal idealin tanimlarindan biri bu. Bunu gostermemiz demek $M$'nin asal ideal oldugunu gostermemiz demek.

Hadi diyelim ki $x$ elemani $M$'nin elemani olmasin. (Zaten olmasi isimize gelir. Su an amacimiz olmadigi durumlarda $y$ elemaninin icinde oldugunu soylemek.)

$x \not \in M$ dedik, yani $M \subset <x,M>$ ve $<x,M> \ne  M$. Tabi biz basindan beri $M$'nin maksimal oldugunu kabul ediyoruz. Bu da bize sunu diyor: $<x,M>=R$.

Simdi bu ikisinin esit olmasi nedir? Hangi bilgiyi verir? En basitinden $1 \in R=<x,M>$ olmasi bize sunu soyler: 

oyle $a\in R, m \in M$ vardir ki $1=ax+m$ olur.

Biri bir sekilde yazmak guzeldir. Neden? Artik $r=rax+rm$  olur. Burda eger $rax$ elemani $M$'de ise $r$ de $M$'de olur. Hatta $rx \in M$ ise.
Simdi amacimiz neydi? $x \in M$ olmadigi durumda (ki basindan beri bu durumdayiz)
 $y \in M$ oldugunu gostermek..

Artik bunu soyleyebilir miyiz?

Answer 2

$R$ birimli ve değişmeli bir halka ve $I$; $R$ nin bir ideali olsun.

1) $I$ maksimaldir $\Longleftrightarrow$ $R/I$ cisimdir.

2) $I$ asaldır $\Longleftrightarrow$ $R/I$ tamlık bölgesidir.

Bu ifadelerin ispatlarını bulabilirsiniz. Sitede de mevcut. Her cisim tamlık bölgesi olduğundan $I$ maksimal ise $R/I$ cisim ve $R/I$ tamlık bölgesidir. Yani; $I$ asaldır.

Comments

Cok tesekkur ederim Handan hanim ama bu sitede boole halkasinda ispat yapilmis biraz arama yaptim ama bulamadim malesef boole halkasiyka ispatlasam olmaz sanirsam

---

<p>
     Tamamdir buldum notlarimda  o kisim varmis tesekkur ederim yardimlariniz icin.Handan Hanim
</p>

---

Tum yorumlarinizi duzenleden yoruma cevirebilirseniz, lutfen, cevap degil cunku bunlar.