Question

Boole halkasında her asal ideal maksimaldir, gösteriniz.

Answer 1

$R$ bir halka, $I$ da bir ideal olsun. Oncelikle,

1. $I$ bir asal idealdir ancak ve ancak $R / I$ bir tamlik bolgesi ise.
2. $I$ bir maksimal idealdir ancek ve ancak $R / I $ bir cisim ise.

Simdi, $R$ bir Boole halkasi (Her $x \in R$ icin $x^2 = x$) ve $I$ da bir asal ideal olsun.

Demek ki $R / I$ bir tamlik bolgesi. $\overline{x} \in R/I$ alalim. $$\overline{x}^2 = \overline{x} \; \overline{x}= \overline{xx} = \overline{x}$$ oldugunu gozlemleyelim. (Yani $R / I$ da bir Boole halkasi.) O zaman, $$0 = \overline{x}^2 - \overline{x} = \overline{x}(\overline{x} -1) $$ Ama $R/ I$ bir tamlik bolgesi. O zaman, $\overline{x} = 0$ ya da $\overline{x} = 1$. Demek ki, $R/I$'nin iki elemani varmis. Yani, $$R/I \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

Yukaridaki "2."'den oturu $I$'nin bir maksimal ideal olmasi gerekiyor.

Not: Kanitin yarisinda, $R$'nin birimli bir halka oldugunu kullandigimi farkettim. Eger, halkada $1$ yoksa ne yapmak gerek bilemiyorum su an.

Not2: Ayni zamanda $R$'nin degismeli oldugunu da kullandim. Ama her Boole halkasi degismelidir zaten. Bunu gostermek icin $x + x = (x + x)^2$ esitliginden $2 x = 0$ geldigini gormek ve sonra $(x+y)^2 = x+ y$ esitligini kullanmak yeterli.

Comments

$I$ idealinin üzerinde $I$ dan farklı bir $J$ ideali al. Böylece $J$ de olan $I$ da olmayan bir eleman mutlaka var. Halkanın Boole Olmasını kullanarak $J$ nin halkaya Eşit olduğunu görmeye çalış. Dolayısıyla $I$ maksimal olur. Tersi doğru zaten. Boole halkaları cevabında da belirttiğin gibi birimli olmak zorunda değiller. 

---

$j \in J \setminus I$ olsun... diye basladim. 

Halkanin $J$'ye esit oldugunu gostermek istiyorum. Herhangi bir $r \in R$ alalim. Bunun $J$'de oldugunu gostermem lazim. Ve halkanin Boole olmasini kullanacagim.

$r + j$'ye bakmayi denedim, buradan bir sey cikmiyor gibi.

$rj$'ye bakalim. $rj =rjrj$ oldugunu biliyoruz, $r^2j = rj = rj^2$ oldugunu biliyoruz. Yukaridaki gibi bir sey yapmaya calisiyorum, 1 yerine $j$'yi kullanarak.

$rj = rj^2$ ise $rj - rj^2 = (r - rj) j = 0 \in I$. 

$I$ asal oldugu icin ve $j \notin I$ oldugu icin, $r - rj \in I \subset J$. . Aha! $J$ ideal oldugu icin $rj \in J$ ve bu da demek oluyor ki $r = r - rj + rj \in J$.

---

Evet Özgür bey. Doğru Yaptıklarınız. 

---

Tesekkur ederim! Ben hep bolum halkalarina odaklanmistim, hic maksimal olmanin kelime anlamini dusunmemistim!

---

Rica ederim. Ters yönün ispatı daha güzel onu da Düşünelim olur mu?

---

Her maksimal ideal, asal ideal olmak zorunda degil demek ki. Cevabinizdan bunu anliyorum. Oyle mi? 

Cevabimda kullandigim 1 ve 2 numarali onermelerin kanitlarini dusunuyorum da, birim elemanin varligini kullaniyor muyum, kullanmiyor gibiyim?

Halkalar degismeli olmayabilir, o zaman 1'de tamlik bolgesi yerine "sifir bolensiz" diyebilirim. 2'de de cisim yerine "bolum halkasii (division ring?)" diyebilirim. Degil mi?

---

Maksimal idealin asal olmadığı yerler var tabii. Boole halkaları değişmeli. 

---

Dogru! Bunu hatirliyorum.

$2x = (2x)^2 = 4x^2 = 4x$

Dolayisiyla $2x = 0$. Yani $x = -x$ her $x \in R$ icin.

Sonra da $(x+y)^2$'ye bakiyorduk.

Peki, o zaman benim cevabimdaki 1 ve 2 numarali onermeler niye dogru degil burada?

---

$2\Bbb{Z}$ de $4\Bbb{Z}$ yi Düşünelim. Halka değişmeli ancak birimli değil bölüm halkası Boole.  Ancak ideal maksimal Olmasına rağmen asal değil. 

---

Tamlık bölgesi ve cisim olması için halka birimli Olmalı. $R$ birimli ve değişmeli ise  bölüm halkaları da birimli ve değişmeli olur. 

---

Asal idealin Tanımı farklı Özgür bey.  Halkanın birimli olmasında yukarıdaki gibi Kullanımlar mevcut. 

Answer 2

Halkamizda birim eleman olmasa bile calisan baska bir kanit: (Diger cevabin altindaki yorumlarindan dolayi Handan Hanim'a tesekkurler)

$R$ bir Boole halkasi ve $I$ bir asal ideal olsun. $I \subsetneq J$ olacak sekilde bir $J$ ideali alalim. Amacimiz $I$'nin maksimal oldugunu, yani $R = J$ oldugunu gostermek.

$r \in R$ ve $j \in J \setminus I$ elemanlarini alalim. $$j = j^2 \\ rj = rj^2 $$ oldugu icin$$ rj-rj^2 = 0 \\ (r -rj) j = 0$$ olur. Demek ki $(r -rj)j \in I$. Ama $I$ bir asal ideal. O halde $r - rj \in I$ ya da $j \in I$. $j \in J\setminus I$ aldigimiz icin, $$r - rj \in I$$ yani $$r - rj \in J$$ Ote yandan, $J$ bir ideal oldugu icin $rj \in J$. Dolayisiyla,

$$r = r-  rj + rj\in J$$

Yani $R = J$. Demek ki, $I$ maksimalmis.