Question

$\mathbb R$ yoğunsa , $\mathbb C$ de $\mathbb R$'yi kapsıyorsa, $\mathbb C\setminus \mathbb R$ deki sayıları $\mathbb R$ ye nasıl ekleyip te $\mathbb C$ yi yaratıyoruz?

Comments

Yogunun tanimi nedir?

---

tam tanımını bılmıyorum, bulamadım.Ama anladığım şu, yoğun kümeyi dizi gibi sıralayamassın , en küçük ve en büyük elemanını bulamassın (gerçi yoğun olmayanlarda da üst ve alt sınırı bulamassın örnek $\mathbb Z$)  kümenin belli bir $a,b\in\mathbb X\quad ve \; a<b$ için $[a,b]$ aralığında a dan başka herhangi en küçük $k$ elemanını bulamassın($k\neq a\in \mathbb[a,b]\;$).

örnek;

$\mathbb R^{>0}$  kümesinde en küçük pozitif reel sayıyı bulamadığımız gibi.

---

yanı zaten yogun olan bır kümede, nerelere eleman sıkıştırıyorsun da $\mathbb C$ yi yaratıveriyorsun.

---

Senin yogun olarak bahsettigin "sayilabilir olmayanlar" mi, bir suru kavram ic ice girmis gibi.

Yogun(Dense) icin buraya bakabilirsin.

Standart topolojilere gore:
$\mathbb R \subset \mathbb C$ yogun degil.
$\mathbb Q \subset \mathbb R$  yogun.

---

topolojı nerden çıktı ki .Hem dediğim soru noluyor, o ek elemanları nereye sıkıştırıyoruz? ingilizcem tam yetmıyor vikideki tanımlara.

---

Iste bi yere sıkıştırmıyorsun. Cunku yogun degil. Simdi aciklama yapacagim ama anlam karmasasi uzerine aciklama bence daha da karisiklik olacak. Sorunu biraz daha genisletebilirsin. Tanimlari ile beraber yazarsan soru daha anlasilabilir olur.

---

Tek başına "yoğun olmak" diye bir şey yok bildiğim kadarıyla. Bir alt kümenin başka bir alt küme içinde yoğun olması var. Tanımı anlamaya buradan başlayabilirsin.

---

Teşekkurler sevgili @Ozgür inceliyorum.

Teşekkürler hocam @Sercan.

---

İnceledin mi?

Buradaki cevaba göre incelememişsin. Çünkü orada (ve burada da) yoğun dediğin şeyin, matematik camiasında neredeyse herkes tarafından yoğun olarak ifade edilen şeyle alakası yok. Bir yerlerde yoğun diye bir kelime gördüğünde bu senin yoğun dediğin şeye karşılık gelmiyor. Sen istersen yine yoğun demeye devam et. Sorun değil, ama başkalarının yoğun dediği şeyle karıştırma. 

Öncelikle, yukarıda dediğim gibi "$X$ kümesi yoğundur." gibi bir şey anlamsız bizim (senin dışındaki insanların) yoğun tanımımıza göre. "$Y$ altkümesi $X$ kümesi içinde yoğundur." cümlesi de şu demek: 

$X$'ten herhangi bir eleman alayım. Bu elemanın çevresinde herhangi bir açık küme alayım. Bu açık kümenin içinde mutlaka $Y$'ye ait bir eleman vardır.

Örneğin rasyonel sayıların reel sayılar içinde yoğun olması demek şu demek: Herhangi bir reel sayı seç. Ve bu seçtiğin reel sayıyı içeren herhangi bir aralık seç. Bu aralık ne kadar küçük olursa olsun, o aralıkta mutlaka bir rasyonel sayı vardır.

---

Tanım çok anlaşılır oldu, cuk diye oturdu, benim yoğun dememdeki kastı anlattım(siz anlamışsınız ne demek istediğimiz zaten :) ) o yüzden tanımlarla karışması mümkünatsız oldu.

İlginiz için çok teşekkür ederim, Sercan hocaya da yorumları için teşekkürler.

---

Sanırım senin söylediğin şeyin tercümesi şu: "Reel sayılar (bildiğimiz sıralamayla) iyi-sıralı (well-ordered) bir küme değil".

$X$ bir küme ve $<$ bu küme üzerinde bir sıralama olsun. $X$'e (bu sıralamayla) iyi-sıralı bir küme diyoruz eğer boş olmayan her alt kümenin bir en küçük elemanı varsa.

Örneğin doğal sayılar (bildiğimiz sıralamasıyla) kümesi iyi-sıralı bir küme. Ama rasyonel sayılar kümesi ya da reel sayılar kümesi iyi-sıralı değiller.

---

Aynen teşekkürler, bir de sordugum soruya gelirsek, $a,b\in\mathbb R$ olmak üzere $z=a+bi$ karmaşık sayısının $\epsilon$ yarıçapındaki aralıgında reel sayı olup olmadıgını nasıl göstericez? Karmaşık sayılar kümesindeki büyüklük küçüklük sıralaması bir yana dursun $z$ karmaşık sayısı diğer karmaşık sayılarla büyüktür küçüktür bile yapılamıyor sanırım bu yüzden tanımsız diyoruz.