Toplam-fark formülleri (Sinüs-Kosinüs)

Question

Sinüs 1) $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Sinüs 2) $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Kosinüs 1) $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$

Kosinüs 2) $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Formüllerini ispatlayınız.

Comments

Birini ispatlamak yeterli olsa gerek.

---

Lisansa alayım mı, yoksa yeterli mi orta öğretim?

---

yeterli .             

---

Foton da admin olmuş hayırlı olsun fotonov :) Yeter dediğine göre ispatı biliyorsun.

---

Lisans mi :O

---

https://tr.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/v/proof-angle-addition-cosine

burada da bir çözüm var ama ben, pek bilinmeyen çözümlerden birini yazdım.

Answer 1

Şekil çizemediğim için anlatarak yapmaya çalışacağım.

Kenar uzunlukları $|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden $[AH]\bot [BC]$ çizelim ve $m(BAH)=x,m(HAC)=y$ olsun. Şimdi alan hesabı ile,

$$A(ABC)=A(ABH)+A(AHC)$$  

$$\frac{b.c.sin(x+y)}{2}=\frac{c.|AH|.sin(x)}{2}+\frac{|AH|.b.sin(y)}{2}$$  

$$b.c.sin(x+y)=c.|AH|.sin(x)+|AH|.b.sin(y)$$  

$$sin(x+y)=\frac{|AH|}{b}.sin(x)+\frac{|AH|}{c}.sin(y)$$  

$$sin(x+y)=cosy.sin(x)+cosx.sin(y)..................(1)$$ elde edilir. 

Burada $y$ yerine $-y$  yazılırsa $$sin(x-y)=cos(-y).sin(x)+cosx.sin(-y)$$  olur. $$cos(-y)=cosy,sin(-y)=-siny$$ olduklarından   $$sin(x-y)=cos(y).sin(x)-cosx.sin(y).................(2)$$  bulunur.

$$cos(x+y)=sin[90-(x+y)]$$

$$cos(x+y)=sin[(90-x)-y]$$ İkinci formüle göre,

$$cos(x+y)=sin(90-x).cosy-cos(90-x).siny$$ olur. Burada $$sin(90-x)=cosx,cos(90-x)=sinx$$ eşitlikleri kullanılırsa 

$$cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny..........................(3)$$

bulunur. Bu son eşitlikte yine $y$ yerine $-y$ yazılırsa 

$$cos(x-y)=cosx.cos(-y)-sinx.sin(-y)$$

$$cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny....................(4)$$ bulunur.

Answer 2

$sin^2x+cos^2x=1$

$sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=cosx$

eşitlikleri bilinsin.

Birim çemberde;

$m(KOA)=a$  ve $m(LOA)=b$  olduğunda,

$m(KOL)=a-b$ dir.

$m(KOL)$'ına eşit olan $m(MOA)$'sı çizilirse,

$m(MOA)=a-b$  olur.

$m(KOA)=a$  ise $K(cosa,sina)$

$m(LOA)=b$  ise  $L(cosb,sinb)$

$m(MOA)=a-b$ ise  $M(cos(a-b),sin(a-b))$

$m(KOL)=m(MOA)$   ise $|KL|=|MA|$ dır.

$|KL|=\sqrt{(cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2}$

$|KL|^2=cos^2a-2.cosa.cosb+cos^2b+sin^2a-2.sina.sinb+sin^2b$    ve

$\to \quad |KL|^2=\underbrace{cos^2a+sin^2a}_1+\underbrace{cos^2b+sin^2b}_1-2.cosa.cosb-2.sina.sinb$

$\to \quad |KL|^2=2-2(cosa.cosb+sina.sinb)$           ($\star$)

$|MA|=\sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sin(a-b))^2}$

$|MA|^2=2-2cos(a-b)$ gelir.($\star\star$)

($\star$) ve ($\star\star$) taraf tarafa eşitlenirse,

$2-2cos(a-b)=2-2(cosa.cosb+sina.sinb)$ den

$\boxed{\boxed{cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb}}$ gelir.     $4.\Box$

kutu içindeki denklemde $-b=b$ dönüşümü yaparsak

$cos(a+b)=cosa.\underbrace{cos(-b)}_{cosb}+sina.\underbrace{sin(-b)}_{-sinb}$

$\boxed{\boxed{\to\quad cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb}}$       $3.\Box$

$sin\theta=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)$  eşitliğinden dolayı;

$sin(a-b)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a-b) \right)=cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b \right)$

$\to \quad sin(a-b)=cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b \right)$   olur

$\to \quad = \underbrace{cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)}_{sina}.cosb-\underbrace{sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)}_{cosa}.sinb$

$\boxed{\boxed{sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa}}$              $2.\Box$

$sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa$   özdeşliğinde  $-b=b$ dönüşümü yaparsak;

$sin(a+b)=sina.\underbrace{cos(-b)}_{cosb}-cosa.\underbrace{sin(-b)}_{-sinb}$

$\boxed{\boxed{\to sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa\quad }}$             $1.\Box$

İspatlar bitmiştir.

Comments

Anılcığım eline ve zihnine sağlık. Ben şekil çizme özürlü olduğumdan bu ispattan kaçtım. Çok güzel bir ispat.Teşekkürler. 

---

Çok teşekkür ederim hocam, bir de üçgenli ispat var onu da yazıyorum şuan.Sizin ispatınız da fevkalade sizin de elinize yüreğinize zihninize sağlık.

Answer 3

$|GF|=sin^2y=siny.cosx$

$|FD|=|BC|=sinx.cosy$

$|GD|=sinx.cosy+siny.cosx$ olur

$ADG$  üçgeninde sin bağıntısı yazarsak

$sin(x+y)=\dfrac{|GD|}{1}=\dfrac{sinx.cosy+siny.cosx}{1}$   olur    ve ispatlanır $\Box$

Comments

$x+y>90$ olamaz mi? Ayrica resimde $x+y=90$ yaziyor sadece $1=\sin(90)$ icin mi bu ispat.

---

olsun ,$\theta+\alpha >90$  olsun ve bizden $sin(\theta+\alpha)$ istensin,

bölgelere göre değişebileceğinden $\theta$  ve $\alpha$ 'yı şöyle yazabilirim

$\theta=x+90$ "veya" $\theta=x+180$ "veya" $\theta=x+270$ "veya" $\theta=x$


$\alpha=x+90$ "veya" $\alpha=x+180$ "veya" $\alpha=x+270$ "veya" $\alpha=x$

ve bundan dolayı, $\theta+\alpha$ 'yı şöyle yazabilirim,

$\theta+\alpha=x+y$  veya  $\theta+\alpha=x+y+90$  veya $\theta+\alpha=x+y+180$  veya

$\theta+\alpha=x+y+270$ 

soruya göre değişir ve $sin(x+90.k)(k\in\mathbb Z^+)$ için bölgelere göre yorum yapabiliriz.

---

Ikinci sorum? $x+y=90$ mi kabul edilmis? Tam anlamadim. 

---

yukarıdakı gıbı yazıp ta, sin(x+y) cinsinden bulabileceğimiz için kabul ettim ,evet.

---

$x+y=90$ kabul etmek sadece $x+y=90$ icin ispat olmaz mi? Yani $\sin(12+8)$'i nasil hesaplayacagiz? Ben mi bi yeri kaciriyorum?

---

30,45,60,90 ve katları haricini bulmak için tylor kullanıyoruz.

sin20 için

$x+y=90$ idi hertaraftan 2y çıkaralım

$x-y=90-2y$ olur

$sin(x-y)=sin(90-2y)=sin90.cos(-2y)+sin(-2y).cos90=cos(-2y)=cos2y$ gelir

$sin20=cos70=cos(2.35)$  ve yukardaki formülü kullanırız. Sadece $x+y=90$ a bağlı kaldık

---

Burada ispatlanmak istenen $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a+\sin b$ degil mi? Diyorum ki $$\sin(12+ 8)=\sin 12 \cos 8+ \cos 12\sin 8$$ esitligini bu ispatinla nasil elde edecegiz? 

---

hocam $x+y=90$ kabul ise $x+y=12+8$ diyemediğimiz bariz olduğundan, bu yöntemden başka bir yöntem türeterek buldum.

buna ihtiyaç kalmasın diye 1. verdığım cevap hertürlü x ve y yi topluyor ve istediğiniz formu veriyor.

Ek bilgi, birim çemberi düşünüp yarı çapının GA oldugunu görebiliriz bu çizgeye bağlı başka bir çizge çizerek 12 ve 8 açılarını bu şekilde ve sizin istediğiniz şekilde de gösterebilirdim ama her x ve y reel sayısı için çizgeye gerek duymamak için yukardaki ispat daha uygun.

Answer 4

Euler formulünden dolayı;https://tr.wikipedia.org/wiki/Euler_form%C3%BCl%C3%BC

$$e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$$

Diğer açılımını kullanırsak, $$e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}=[\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)][\cos(\beta)+i\sin(\beta)]$$ $$=\cos(\alpha)\cos(\beta)+i\cos(\beta)sin(\alpha)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Eşitlik sağlanması için sanal ve gerçel kısımlar eşit olmalı dolayısıyla;

$$\boxed{i\sin(\alpha+\beta)=i\cos(\beta)sin(\alpha)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)}$$

$$\boxed{\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}$$