Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
37.5k kez görüntülendi

Sinüs 1) $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Sinüs 2) $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Kosinüs 1) $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$

Kosinüs 2) $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Formüllerini ispatlayınız.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 37.5k kez görüntülendi

Birini ispatlamak yeterli olsa gerek.

Lisansa alayım mı, yoksa yeterli mi orta öğretim?

yeterli .             

Foton da admin olmuş hayırlı olsun fotonov :) Yeter dediğine göre ispatı biliyorsun.

Lisans mi :O

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Şekil çizemediğim için anlatarak yapmaya çalışacağım.

Kenar uzunlukları $|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden $[AH]\bot [BC]$ çizelim ve $m(BAH)=x,m(HAC)=y$ olsun. Şimdi alan hesabı ile,

$$A(ABC)=A(ABH)+A(AHC)$$ 

$$\frac{b.c.sin(x+y)}{2}=\frac{c.|AH|.sin(x)}{2}+\frac{|AH|.b.sin(y)}{2}$$ 

$$b.c.sin(x+y)=c.|AH|.sin(x)+|AH|.b.sin(y)$$ 

$$sin(x+y)=\frac{|AH|}{b}.sin(x)+\frac{|AH|}{c}.sin(y)$$ 

$$sin(x+y)=cosy.sin(x)+cosx.sin(y)..................(1)$$ elde edilir. 

Burada $y$ yerine $-y$  yazılırsa $$sin(x-y)=cos(-y).sin(x)+cosx.sin(-y)$$  olur. $$ cos(-y)=cosy,sin(-y)=-siny$$ olduklarından  $$sin(x-y)=cos(y).sin(x)-cosx.sin(y).................(2)$$ bulunur.

$$cos(x+y)=sin[90-(x+y)]$$

$$cos(x+y)=sin[(90-x)-y]$$ İkinci formüle göre,

$$cos(x+y)=sin(90-x).cosy-cos(90-x).siny$$ olur. Burada $$sin(90-x)=cosx,cos(90-x)=sinx$$ eşitlikleri kullanılırsa 

$$cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny..........................(3)$$

bulunur. Bu son eşitlikte yine $y$ yerine $-y$ yazılırsa 

$$cos(x-y)=cosx.cos(-y)-sinx.sin(-y)$$

$$cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny....................(4)$$ bulunur.





(19.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$sin^2x+cos^2x=1$


$sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=cosx$


eşitlikleri bilinsin.


image

Birim çemberde;


$m(KOA)=a$  ve $m(LOA)=b$  olduğunda,


$m(KOL)=a-b$ dir.


$m(KOL)$'ına eşit olan $m(MOA)$'sı çizilirse,


$m(MOA)=a-b$  olur.


$m(KOA)=a$  ise $K(cosa,sina)$


$m(LOA)=b$  ise  $L(cosb,sinb)$


$m(MOA)=a-b$ ise  $M(cos(a-b),sin(a-b))$


$m(KOL)=m(MOA)$   ise $|KL|=|MA|$ dır.


$|KL|=\sqrt{(cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2}$


$|KL|^2=cos^2a-2.cosa.cosb+cos^2b+sin^2a-2.sina.sinb+sin^2b$    ve


$\to \quad |KL|^2=\underbrace{cos^2a+sin^2a}_1+\underbrace{cos^2b+sin^2b}_1-2.cosa.cosb-2.sina.sinb$


$\to \quad |KL|^2=2-2(cosa.cosb+sina.sinb)$           ($\star$)


$|MA|=\sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sin(a-b))^2}$


$|MA|^2=2-2cos(a-b)$ gelir.($\star\star$)


($\star$) ve ($\star\star$) taraf tarafa eşitlenirse,



$2-2cos(a-b)=2-2(cosa.cosb+sina.sinb)$ den


$\boxed{\boxed{cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb}}$ gelir.     $4.\Box$


kutu içindeki denklemde $-b=b$ dönüşümü yaparsak


$cos(a+b)=cosa.\underbrace{cos(-b)}_{cosb}+sina.\underbrace{sin(-b)}_{-sinb}$


$\boxed{\boxed{\to\quad cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb}}$       $3.\Box$


$sin\theta=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)$  eşitliğinden dolayı;


$sin(a-b)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a-b) \right)=cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b \right)$

$\to \quad sin(a-b)=cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b \right)$   olur


$\to \quad = \underbrace{cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)}_{sina}.cosb-\underbrace{sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)}_{cosa}.sinb$

$\boxed{\boxed{sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa}}$              $2.\Box$


$sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa$   özdeşliğinde  $-b=b$ dönüşümü yaparsak;


$sin(a+b)=sina.\underbrace{cos(-b)}_{cosb}-cosa.\underbrace{sin(-b)}_{-sinb}$


$\boxed{\boxed{\to sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa\quad }}$             $1.\Box$

İspatlar bitmiştir.

(7.8k puan) tarafından 

Anılcığım eline ve zihnine sağlık. Ben şekil çizme özürlü olduğumdan bu ispattan kaçtım. Çok güzel bir ispat.Teşekkürler. 

Çok teşekkür ederim hocam, bir de üçgenli ispat var onu da yazıyorum şuan.Sizin ispatınız da fevkalade sizin de elinize yüreğinize zihninize sağlık.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

image

$|GF|=sin^2y=siny.cosx$

$|FD|=|BC|=sinx.cosy$

$|GD|=sinx.cosy+siny.cosx$ olur

$ADG$  üçgeninde sin bağıntısı yazarsak

$sin(x+y)=\dfrac{|GD|}{1}=\dfrac{sinx.cosy+siny.cosx}{1}$   olur    ve ispatlanır $\Box$

(7.8k puan) tarafından 

$x+y>90$ olamaz mi? Ayrica resimde $x+y=90$ yaziyor sadece $1=\sin(90)$ icin mi bu ispat.

olsun ,$\theta+\alpha >90$  olsun ve bizden $sin(\theta+\alpha)$ istensin,

bölgelere göre değişebileceğinden $\theta$  ve $\alpha$ 'yı şöyle yazabilirim

$\theta=x+90$ "veya" $\theta=x+180$ "veya" $\theta=x+270$ "veya" $\theta=x$


$\alpha=x+90$ "veya" $\alpha=x+180$ "veya" $\alpha=x+270$ "veya" $\alpha=x$

ve bundan dolayı, $\theta+\alpha$ 'yı şöyle yazabilirim,

$\theta+\alpha=x+y$  veya  $\theta+\alpha=x+y+90$  veya $\theta+\alpha=x+y+180$  veya

$\theta+\alpha=x+y+270$ 

soruya göre değişir ve $sin(x+90.k)(k\in\mathbb Z^+)$ için bölgelere göre yorum yapabiliriz.

Ikinci sorum? $x+y=90$ mi kabul edilmis? Tam anlamadim. 

yukarıdakı gıbı yazıp ta, sin(x+y) cinsinden bulabileceğimiz için kabul ettim ,evet.

$x+y=90$ kabul etmek sadece $x+y=90$ icin ispat olmaz mi? Yani $\sin(12+8)$'i nasil hesaplayacagiz? Ben mi bi yeri kaciriyorum?

30,45,60,90 ve katları haricini bulmak için tylor kullanıyoruz.

sin20 için

$x+y=90$ idi hertaraftan 2y çıkaralım

$x-y=90-2y$ olur

$sin(x-y)=sin(90-2y)=sin90.cos(-2y)+sin(-2y).cos90=cos(-2y)=cos2y$ gelir

$sin20=cos70=cos(2.35)$  ve yukardaki formülü kullanırız. Sadece $x+y=90$ a bağlı kaldık

Burada ispatlanmak istenen $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a+\sin b$ degil mi? Diyorum ki $$\sin(12+ 8)=\sin 12 \cos 8+ \cos 12\sin 8$$ esitligini bu ispatinla nasil elde edecegiz? 

hocam $x+y=90$ kabul ise $x+y=12+8$ diyemediğimiz bariz olduğundan, bu yöntemden başka bir yöntem türeterek buldum.

buna ihtiyaç kalmasın diye 1. verdığım cevap hertürlü x ve y yi topluyor ve istediğiniz formu veriyor.

Ek bilgi, birim çemberi düşünüp yarı çapının GA oldugunu görebiliriz bu çizgeye bağlı başka bir çizge çizerek 12 ve 8 açılarını bu şekilde ve sizin istediğiniz şekilde de gösterebilirdim ama her x ve y reel sayısı için çizgeye gerek duymamak için yukardaki ispat daha uygun.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Euler formulünden dolayı;https://tr.wikipedia.org/wiki/Euler_form%C3%BCl%C3%BC

$$e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$$

Diğer açılımını kullanırsak, $$e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}=[\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)][\cos(\beta)+i\sin(\beta)]$$$$=\cos(\alpha)\cos(\beta)+i\cos(\beta)sin(\alpha)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Eşitlik sağlanması için sanal ve gerçel kısımlar eşit olmalı dolayısıyla;

$$\boxed{i\sin(\alpha+\beta)=i\cos(\beta)sin(\alpha)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)}$$


$$\boxed{\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}$$

(7.8k puan) tarafından 
19,421 soru
21,158 cevap
70,915 yorum
25,631 kullanıcı