$x^3 -3x^2 -3x +9 = 0$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır ?

Question

$x^2$ parantezine aldım

$x^2 (x-3) -3 (x-3) = 0$

$(x-3).(x^2-3)=0$

buradan 3 ve -3 oluyor cevap nasıl 3 oluyor.

Comments

$3$ ve $\pm\sqrt3$ geliyor kokler. Bu nedenle $3+\sqrt3-\sqrt3=3$ olur.

Answer 1

Yine de dogru ifade edilmis cevabi buraya yazayim:

$3$ ve $\pm\sqrt3$ geliyor kokler. Bu nedenle $3+\sqrt3-\sqrt3=3$ olur.

Answer 2

Kökler toplamı herzaman -b/a dır. benim sorularımda vardı sanırım , ama daha genel göstermek gerek. dolayısıyla kökler toplamı $-(-3)/1=3$ müş

Comments

Kokler toplami her zaman $-b/a$ degildir. $x^3-1=0$ denkleminin bir tane reel koku var ve bu da $1$. Fakat $-b/a$ denilien $0$.

---

işte bunu nasıl genel olarak yazabılırız?

---

ve yanılıyorsunuz hocam, $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ dir soru reel köklerin toplamını değil , tüm kökler toplamını soruyor.Benım mantıgım hâlâ geçerli.

---

Eger tum kokler istenilen yerde ise polinomu  $$a(x-x_1) \cdots (x-x_n)$$ olarak yazabiliriz. Buradan $x^{n-1}$'in katsayisi olan $$b=-a(x_1+\cdots+x_n)$$ olur. Bu da bize $$x_1+\cdots+x_n=-\frac ba$$ esitligini verir.

---

b nereden cıktı hocam hangı polınomda? orayı tam anlayamadım

---

Bu yanilma degil. Eger nerede oldugu belli degilse soru sahibine sorulur. Genel olarak (genel denilen pek matematiksel olmasa da) bu sorular gercel sayilar icin sorulur. Eger soruyu cozeceksen ve $-b/a$ oldugunu kullanacaksan, karmasik sayilar uzerinde olmasi gerektigini belirtmen gerekir.

Genellestirme matematikte vardir. $x$ reel sayi iken $z$ karmasik sayidir. Bunlari yazarken insan genelde belirtmez. Fakat $z^3-1=0$ icin reel kok istiyorsam $z \in \mathbb R$  deyip genellige saygi duymam gerekir.

Ya da genellestirmelere karsi cikip, her zaman nerede calistigimizi soylemek gerekir.

$\int f(x) dx$ yazip ben gercel sayilardayim demek gerekir.

---

$b$ senin kafandaki polinom yapisindan geliyor. $-b/a$ derken $b$ nereden ciktiysa. Genel polinom anlayisi. $f(x)=ax^n+bx^{n-1}+\cdots$ ve $a\ne 0$.

---

$b=-a(x_1+x_2+x_3+......+x_n)$ tam olarak nereden geldiğini anlamadım. bunu kastetmiştim

---

$x^{n-1}$ katsayisi $b$, diger acidan bakinca da $-a(x_1+\cdots+x_n)$. Farkli sekilde hesaplamalar ayni esitligi verir.


Mesela kokler carpimi da $a(-1)^n x_1\cdots x_n= (\text{son terim})$ olur.

---

ama hangı yontemle $ax^n+bx^{n-1}+........$ polinomunda b yi  $b=-a(x_1+x_2+x_3+......)$ olarak buldunuz ben göremiyorum :D hangi mantıkla geldiğini aydınlatın lütfen.

---

Simdi benim anlattigima inandigimi, nasil anlatayim? (link) Buraya yazdigim kismin neresinde takildin? Buna gore konusalim. Netlik gelsin anlasilmayan yere.