Question

$\pi^4-1$ sayısı $\mathbb{Q}(\pi^2)$ üzerinde cebirsel midir?

Comments

Lutfen notayonlarinizi aciklayiniz? Not defteri kosesi sorusu gibi soru. Yazmaktan kacinmaya gerek yok. Okunur, merak etmeyin.

---

$\pi$ nin $Q$ üzerinde cebirsel olduğunu biliyorum.$Q$ ya $\pi^2$ öğesi eklenerek elde edilen $Q$($\pi^2$) genişlemesinde $\pi$ nin tüm katlarının ve kuvvetlerinin olduğunu da biliyorum. Dolayısıyla verilen ifade cebirseldir diye düşünüyorum. Peki nasıl gösterebiliriz?

---

$\pi$ sayisi $\mathbb Q$ uzerinde cebirsel degil, askin bir sayi.

Sorun su mu simdi: $\pi^4-1$ sayisi $\mathbb Q(\pi^2)$ uzerinde cebirel mi?

---

Evet soru bu şekilde.

---

O zaman sorunuzu bu sekilde duzenleyebilir misiniz anlasilmasi icin.

$\mathbb{Q}$ notasyonunu \mathbb{Q} ile yapabilirsiniz.

Duzenlemeniz bittikten sonra cevaplarim soruyu.

Answer 1

Ilk olarak $\pi^2$ bu cismin elemani Bu nedenle $\pi^4-1=(\pi^2)^2-1$ de bu cismin elemani olur ve dogal olarak minimal polinomu $$x-(\pi^4-1)$$ olur. Bu da bize $\pi^4-1$ elemaninin $\mathbb Q(\pi^2)$ cismi uzerinde cebirsel oldugunu soyler.

Comments

Teşekkür ederim.