Kafes ve Tam Kafes

Question

$X\neq \emptyset$  küme$,$  $\mathcal{T}(X):=\{\tau \mid \tau, X\text{'de topoloji}\}$  ve  $\supseteq :=\{(\tau_1, \tau_2) \mid \tau_1 \supseteq \tau_2 \} \subseteq \mathcal{T}(X)\times \mathcal{T}(X)$  olmak üzere

$$(\mathcal{T}(X),\supseteq)$$ sıra yapısı bir tam kafes midir? (Kafes: Lattice)

Answer 1

Hangi topoloji toplulugunu $\{\tau_i\}_{i\in I}$ alirsaniz alin bunlarin kesisimi de $\bigcap_{i\in I}\tau_i$ bir topoloji verir. Bu da en azindan elimizdeki posetin $\wedge$ operasyonu icin tam oldugunu gosterir.

Ote yandan $\bigcup_i \tau_i$ bir topoloji degil ve bu yuzden $\bigvee_i \tau_i$ bu birlesim kumesini iceren en kucuk topoloji olmak zorundadir. Biliyoruz ki $\bigcup_i\tau_i$ kumesini iceren topolojiler kumesi bos degil (ayrik topoloji burda mesela). O yuzden $\bigvee_i \tau_i$ tanimlanabilir.Yani elimizdeki poset $\vee$ operasyonu icin de tamdir.