Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.4k kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.4k kez görüntülendi

İpucu: Bir vektör uzayının tabanı nedir, nasıl bulunur?

Bir vektör uzayının maksimal lineer bağımsız altkümesine taban denir. 

Tabandaki eleman sayısı biriciktir.

Bu eleman saysına vektör uzayının boyutu denir.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$V$; $F$ cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. $\emptyset\neq A=\{v_1,v_2,\ldots, v_n\}\subset V$ olmak üzere eğer her $v\in V$ için $v=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$, $a_i\in F$ yazılışı var ve bu yazılış tek türlü ise(yani katsayılar tek olarak belirli) ise $A$'ya $V$'nin tabanı(bazı) denir. $V$'nin her bazında aynı sayıda vektör bulunur. (Bu sitede bir soru olarak yer almakta. Şayet uzayın farklı eleman sayısına sahip iki bazını aldığımızda; doğrusal bağımsız vektörlerin sayısı vektör uzayını geren vektörlerin sayısını aşamayacağından yola çıkılarak her iki bazda aynı sayıda eleman olduğu gösterilebilir). İşte bu sayıya $V$ vektör uzayının boyutu denir.

Örnekler:

1- $V=\{0\}$ ise $A=\emptyset$ ve $V$'nin boyutu $0$.

2- $\Bbb{C}$ kompleks sayılar cismini $\Bbb{R}$ üzerinde bir vektör uzayı olarak düşündüğümüzde $\{1,i\}\subset \Bbb{C}$ bir taban olarak alınabilir ve uzayın boyutu $2$.

3- $F$ cisim olmak üzere $F$'yi kendi üzerinde bir vektör uzayı olarak da düşünebiliriz(skalerle çarpma işlemini cisimdeki ikinci işlem olarak tanımlarsak). $\{1_F\}\subset F$ vektör uzayı için baz alınabilir ve uzayın boyutu $1$.

4- $m,n \geq 1$ ve $M_{m,n}(F)$; $F$ cismi üzerinde $m\times n$ tipindeki matrislerin kümesi olsun. Toplama işlemi; matrislerin bilinen toplama işlemi ve skalerle çarpma işlemi; matrisin herbir bileşeninin skaler ile çarpılması ile tanımladığımızda $M_{m,n}$ bir $F$-uzay olur. $E_{i,j}$ matrisi $i$-yinci satır $j$-yinci sütun bileşeni $1$ diğer bileşenleri $0$ olan matrisi göstersin. $\{E_{i,} \mid i=1,2,\ldots, m; j=1,2,\ldots, n\}$ kümesi uzay için bir baz olup boyut $mn$.

(1.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Nasıl bulunması başka bir soru olsa gerek:) Bu soruya da uygun olduğumuz bir gün cevap verelim.

Ancak kısaca şöyle bir cevap verebiliriz: eğer uzayı üreten(geren) bir küme varsa; bu küme her zaman uzay için bir baza sahip. Yani doğrusal bağımsız bir küme var içinde. Bu kümeden doğrusal bağımlı vektörlerin silinmesiyle baz elde etmek mümkün. Diğer yandan; elimizde doğrusal bağımsız bir küme var ve uzayın boyutunuda biliyorsak bu seferde bu kümeye doğrusal bağımsızlığı bozmayacak şekilde vektörlerin eklenmesiyle baz elde etmek mümkün. Örneklerle uygun olduğum zaman yazacağım.

Aramızda bulunuyor olmana sevindim. Selamlar.

18,095 soru
20,670 cevap
66,462 yorum
18,775 kullanıcı