Question

Bir vektör uzayının boyutu nasıl tanımlanır?

Comments

İpucu: Bir vektör uzayının tabanı nedir, nasıl bulunur?

---

Bir vektör uzayının maksimal lineer bağımsız altkümesine taban denir. 

Tabandaki eleman sayısı biriciktir.

Bu eleman saysına vektör uzayının boyutu denir.

Answer 1

$V$; $F$ cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. $\emptyset\neq A=\{v_1,v_2,\ldots, v_n\}\subset V$ olmak üzere eğer her $v\in V$ için $v=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$, $a_i\in F$ yazılışı var ve bu yazılış tek türlü ise(yani katsayılar tek olarak belirli) ise $A$'ya $V$'nin tabanı(bazı) denir. $V$'nin her bazında aynı sayıda vektör bulunur. (Bu sitede bir soru olarak yer almakta. Şayet uzayın farklı eleman sayısına sahip iki bazını aldığımızda; doğrusal bağımsız vektörlerin sayısı vektör uzayını geren vektörlerin sayısını aşamayacağından yola çıkılarak her iki bazda aynı sayıda eleman olduğu gösterilebilir). İşte bu sayıya $V$ vektör uzayının boyutu denir.

Örnekler:

1- $V=\{0\}$ ise $A=\emptyset$ ve $V$'nin boyutu $0$.

2- $\Bbb{C}$ kompleks sayılar cismini $\Bbb{R}$ üzerinde bir vektör uzayı olarak düşündüğümüzde $\{1,i\}\subset \Bbb{C}$ bir taban olarak alınabilir ve uzayın boyutu $2$.

3- $F$ cisim olmak üzere $F$'yi kendi üzerinde bir vektör uzayı olarak da düşünebiliriz(skalerle çarpma işlemini cisimdeki ikinci işlem olarak tanımlarsak). $\{1_F\}\subset F$ vektör uzayı için baz alınabilir ve uzayın boyutu $1$.

4- $m,n \geq 1$ ve $M_{m,n}(F)$; $F$ cismi üzerinde $m\times n$ tipindeki matrislerin kümesi olsun. Toplama işlemi; matrislerin bilinen toplama işlemi ve skalerle çarpma işlemi; matrisin herbir bileşeninin skaler ile çarpılması ile tanımladığımızda $M_{m,n}$ bir $F$-uzay olur. $E_{i,j}$ matrisi $i$-yinci satır $j$-yinci sütun bileşeni $1$ diğer bileşenleri $0$ olan matrisi göstersin. $\{E_{i,} \mid i=1,2,\ldots, m; j=1,2,\ldots, n\}$ kümesi uzay için bir baz olup boyut $mn$.

Comments

Nasıl bulunması başka bir soru olsa gerek:) Bu soruya da uygun olduğumuz bir gün cevap verelim.

Ancak kısaca şöyle bir cevap verebiliriz: eğer uzayı üreten(geren) bir küme varsa; bu küme her zaman uzay için bir baza sahip. Yani doğrusal bağımsız bir küme var içinde. Bu kümeden doğrusal bağımlı vektörlerin silinmesiyle baz elde etmek mümkün. Diğer yandan; elimizde doğrusal bağımsız bir küme var ve uzayın boyutunuda biliyorsak bu seferde bu kümeye doğrusal bağımsızlığı bozmayacak şekilde vektörlerin eklenmesiyle baz elde etmek mümkün. Örneklerle uygun olduğum zaman yazacağım.

---

Aramızda bulunuyor olmana sevindim. Selamlar.