Delik su bidonu problemi

Question

Sercan Hoca ve foton yiyen Anıl matematik teoremlerinden ve ispatlarından birazcık başlarını kaldırıp masa tenisi oynamaya karar veriyorlar. Lakin 5 dakika diye niyetlendikleri oyun birazcık (yaklaşık iki saat kadar) uzuyor. Haliyle susuyorlar ve tam bu arada ortama dahil oluyorum. Sercan hoca benden rica ediyor, su getirebilir misin diye. Sercan hocayı kırmak olmaz, lakin bu kadar yorgunluğu bir bardak suyun gidermeyeceğinin farkındayım. Sürekli gidip gelmeye de üşeniyorum, tam kara kara düşünürken gözüme köşedeki $r=10\ cm$ yarıçaplı silindirik su bidonu ilişiyor. Bidonu kapıp su doldurmaya gidiyorum. Bidonu $h_0=20\ cm$ seviyesine kadar doldurunca bir soruncukla karşılaşıyorum: Bidonun tam dibinde ufak bir delik var ve $t\ sn$'lik sürede $\displaystyle \frac{h_t.\pi.R^2}{20}.t\ L.sn$ hacminde su akıtıyor. Sercan hocaya ve Anıla suyu götürme sürem $20\ sn$ olduğuna göre suyun ne kadarını hedefe ulaştırabilirim?

Comments

:) çok güzel bir soru olmuş.

t anındaki su akıtma  $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{h_t.\pi.R^2}{4}$  değil mi?

---

Aynen, aslında daha güzel sayılar vermek isterdim ama birimlerde sorun çıkmasın diye riske girmedim.

---

güzelliği değil, böyle daha zarif olmuş, sadece biliyor muyum diye sorayım dedim:)

---

Sen formül olarak soruyorsan öyle bir formül yok onu ben uydurdum :) Zaten deliğin çapına, sıvının viskozitesine falan yığınla şeye bağlı, uğraşılmaz onunla :)

---

Biz susuzluktan kiriliyoruz, adam formul uyduruyor...

---

Aslında bu soru çok daha hoş bir soruya dönüşebilir. Ama şimdilik böyle dursun :)

---

Ama eğer o soruyu yazarsam tam formül uydurmanın zirvesine çıkarım :)

---

arkadaş elınle deligi kapatsan iş çözülcek gibi fanteziye gerek yok:)

---

Bunu diyen arkadaş da fantezizasyon kelimesini Türkçemize kazandırmış biri :)

---

kitap yazmak kısmet olursa ekleyecem fantezizasyon'u

---

blog'undaki makalelere eklersin.

---

Karşılıklı tatlı sohbetten,soruyu çözmeye yönelen yok mu?  

---

Sercan hoca az daha cevapsizlarda gorunsun diye ugrasmiyordu sanirim hocam :)

---

Lakin hata bende. Bağıntı $\displaystyle\frac{h_t\pi r^2}{4}.t$ şeklinde olmalı. Soruyu soranın ayıbı :)

---

Bence sorunun ilk şekli doğru olmalı.  Verilenler $\frac{dV}{dt}=-\frac{h(t)\pi R^2}4=-\frac{V}4$ olur. Bu da çözümü (basit ve) bir üstel ifade içeren bir diferansiyel denklemdir.

---

Hocam düzenliyorum soruyu bir kaç dakika içerisinde.

---

@DoganDonmez hocam bu şekilde integre ettiğimizde bulduğum cevaptaki ifade gelir mi? Bir kitapta buna benzer bir diferansiyel denklemden $e$'li bir üstel fonksiyon elde etmiş ama ben yapamadım.

---

Sorunun ifadesi de (cevaptaki üstel ifade bulunmasından geriye giderek)

"$t$ anında $\frac{h_t\pi R^2}{20}$  Lt/sn  su akıtıyor" (sağda $t$ olmamalı)

olması daha mantıklı olurdu. 

O zaman

$\frac{dV}{dt}=-\frac{V}{20}$ den $V(t)=V_0e^{-\frac1{20}t}$ bulunur. ($V_0,\ t=0$ anındaki hacim)

20 saniye   sonra da $V=V_0e^{-1}=\frac{2\pi} e$ Litre olur.

---

Anladım hocam. İntegre ederken $V(t)$ fonksiyonunda $dt$'ye göre integre ederken $V_t$'yi sabit gibi alıyordum, haliyle yanlış oluyordu. Bu arada hocam $t$ sıfıra limitli olduğundan $dt.\frac{h_t\pi R^2}{20}=dV$ şeklinde yazmaz mıyız? Ya da $t$ anında boşalan suyun da $0$'a limitli olması gerekmez mi? Öbür türlü bidondaki su anında yere dökülür gibi geldi bana.

---

Hacim azaldığı için $dt\frac{h_t\pi R^2}{20}=-dV$ yazmalıyız.

$\lim_{t\to +\infty}V=0$ olduğu için $\lim_{t\to +\infty}\frac{dV}{dt}=0$ olur.

Answer 1

$\pi.r^2.h_0-\frac{T}{t}.\frac{h_t.\pi.R^2}{4}$ olmaz mı?

Comments

Hocam cozum yazabilir misiniz? Ayrica fizik kitabinda su bidonunun elektronik benzeri icin $e$'li bir ustel baginti verilmis.

Answer 2

Öncelikle kendi bulduğum çözümü yazayım, uzun bir yol sayılır. Ardından daha kolay ve etkili bir çözüm yöntemi yazacağım.

Öncelikle $n.t=20\ sn$ olsun. Tümevarımdan ispatlayalım, ilk adımda

 $h_{t}\pi r^2=h_0\pi r^2-\frac{h_0\pi r^2}{20}.t=h_0\pi r^2(1-\frac{t}{20})$

  $h_{2t}\pi r^2=h_{t}\pi r^2-\frac{h_{t}\pi r^2}{20}.t=h_0\pi r^2(1-\frac{t}{20})-\frac{h_0\pi r^2(1-\frac{t}{20})}{20}.t=h_{0}\pi r^2(1-\frac{t}{20})^2$

ikinci olarak da $k<n$ olacak şekilde $h_{(k-1)t}\pi r^2=h_{k.t}\pi r^2-\frac{h_{k.t}\pi r^2}{20}.t=h_{k.t}\pi r^2(1-\frac{t}{20})$ buluruz. O halde $h_{k.t}\pi r^2=h_0\pi r^2(1-\frac{t}{20})^k$ olması gerektiğini tümevarımla ispatlarız.

$\displaystyle \lim _{t \to 0} h_0\pi r^2(1-\frac{t}{20})^n=h_0\pi r^2.e^{\frac{n.(-t)}{20}}=h_0\pi r^2.e^{-1}\approx2,311\ L$ suyu Anıla ve Sercan hocaya taşıyabilirim.