Mantıksal Denk

Question

$p(x)$ konu evreni $X$ olan tek değişkenli bir açık önerme olmak üzere

$$\forall x\in X, p(x)$$ önermesi ile $$x\in X \Rightarrow p(x)$$ önermesi denk önermeler midir?

Answer 1

Burada denk onermlereden ne kast ettiginiz onemli. Oncelikle ilk onermeyi $\forall x p(x)$ olarak yazarsak sentaks acisindan daha dogru olur. Bu durumda bu onermenin dogru olmasi her $x\in X$ icin $p(x)$ onermesinin dogru olmasi olarak tanimlanir.

Doalyisiyla yazdiginiz ikinci ifade birncinin dogru olmasinin tanimi. Ancak bu ifade, yani $x\in X\implies p(x)$ onermeler mantiginin bir onermesi degil. Yani meta-teoride yer alan ve anlami her $x\in X$ icin $p(x)$ olan bir kisaltma.

Eger denkten kastiniz,  "$\forall x p(x)$ onermesi dogrudur ancak ve ancak her $x\in X$ icin $p(x)$ onermesi dogrudur" ise bu dediginiz dogru ama yukarida dedigim gibi bu  $\forall x p(x)$ onermesinin dogrulugunun tanimi. 

Fakat $x\in X\implies p(x)$ bir onerme olmadigi icin, bu iki ifadenin denkliginden bahsedemeyiz. 

Comments

Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim. Denk önermeden kastım doğruluk değerleri aynı olan önermeler. Bu durumda bir sorum daha olacak size. $$x\in \mathbb{R}\Rightarrow x^2\geq 0$$ ifadesi bir önerme değil mi? Değilse neden? 

---

Bahsettiğiniz ifadenin bir önerme olup olmadığına karar vermek için hangi dilde ve hangi mantık sisteminde çalıştığınızı belirtmeniz lazım.

Bahsettiğiniz ifadeyi $\mathbb{R}$'yi, $\geq$'yi ve gerçellerde çarpma işleminin tanımını kümeler üzerinden açık açık yazdığınızda, birincil derece mantıkta mantıksal olmayan semboller kümesi $\{\in\}$ olan dilde (yani kümeler kuramında) tek değişkenli bir formül olarak ifade edebilirsiniz. (Dediğim gibi burada $\mathbb{R}$'yi, $\geq$'i ve gerçellerde çarpmayı sadece $\in$ kullanarak ifade ettiğinizi varsayıyorum.)

Birincil derece mantıkta çalıştığımızı varsayalım. Uğur'un itirazı şu ki, eğer $\in$ sembolü dilinizin bir parçası değilse ve diliniz sadece $p$ predicate'ından oluşuyorsa, bu durumda "her x için p(x)" ifadesinin gramatik olarak doğru olan yazım şekli $\forall x\ p(x)$ olacaktır. Bunun dışında, eğer $\in$ sembolünü kapsayan bir dilde çalışıyorsanız tabii ki $\forall x \in X p(x)$ önermesinin de gramatik olarak doğru olduğunu iddia edebilirsiniz ancak bu durumda $X$ konu evreninizin tamamı değil, konu evreninizdeki bir obje olacaktır.

İkincil derece ya da yüksek dereceli diğer mantık sistemlerine geçerseniz, konu evreninizin çeşitli alt kümelerini niteleyen değişkenleri, $X$ gibi mesela, dilinize değişken sembolleri olarak katabilirsiniz ve $\forall x \in X p(x)$ önermesini gramatik olarak doğru bir hale de getirebilirsiniz tabii ancak sizin istediğiniz sanırım ilk durum.