Question

$R$ halkasında $\forall a\in R$ için $a^{3}=a$ ise $R$ nin değişmeli olduğunu gösteriniz.

Comments

Boyle bir halkada $2 = 8$, yani $0 = 6$ olacaktir. Yani karakteristik 2 ya da 3 olmali. Bu bir isimize yarar mi?

---

ya $2$ elemani degilse?

---

$2 := 1 + 1$. Of tamam, halkanin birimli oldugu soylenmemis.

Answer 1

$f(x,y):=(x+y)^3-x^3-y^3 \in \mathbb Z (x,y)$ olsun. O halde her $x,y \in R$ icin $$0=f\bigl(x,y+(x \cdot y-y \cdot x)\bigr) - f(x,y) - f\bigl(x,(x \cdot y-y \cdot x)\bigr) - (x \cdot f(x,y) - f(x,y) \cdot x)$$

$$ = -x^3 \cdot y + y \cdot x^3=-x\cdot y+y\cdot x.$$ Demek ki $R$ degismeliymis.

Comments

Çözüm oldukça ilginç. Başka nasıl yapabiliriz?

---

1) $xy=0$ ise $yx=0$.
2) $x^2=x$ ise $x$ merkezin elemani.
3) $(x^2)^2=x^2$ oldugundan $x^2$ merkezin elemani.
4) $x^2=2x$ ise $x$ merkezde.
5) $(x+x^2)^2=2(x+x^2)$ oldugubndan $x+x^2$ merkezde
6) $x^2$ ve $x^2+x$ merkezde oldugundan $x$ merkezde.

Bunlari sira ile gostermek gerekir.

---

Tamam Sercan bey. Çözümler için teşekkür ediyorum.

---

Bu önermenin karşıtı her zaman doğru mudur? Yani $R$ halkası değişmeli ise her $a\in R$ için $a^3=a$ olmak zorunda mıdır?

---

Cisimleri ele alirsak bu durum sadece sadece $\mathbb F_3$ icin saglanir.