Question

$R$ bir halka olmak üzere $a^{2}=a$ $\forall a\in R$ sağlanıyorsa $R$ değişmelidir.

Answer 1

Doğan hocam ilk çözüme yaptığınız yorum gayet doğrudur. Çözümde bir eksiklik var. Fakat sizin yaptığınız çözüm için halkanın birimli olması gerekmez. Yani sizin yaptığınız argüman birimsiz halkada da geçerlidir, şöyle ki: $(a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a=a+a$ olduğundan $a+a=0$ yani $a=-a$ $\forall a\in R$. Ve sonrasında $(a+b)^{2}=a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b$ ve burdan da $ab+ba=0$ $\Rightarrow$ $ab=-ba=ba$ $\forall a,b\in R$.

Answer 2

Halka birim elemanlı iken kolay:

$\forall a\in R$ için $(1+a)^2=1+a+a+a^2=1+a+a+a=1+a$ oluşundan $\forall a\in R$ için $a+a=0$ yani ($\forall a\in R$ için) $a=-a$ bulunur.

Daha sonra da $\forall a,b\in R$ için $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b=a+b$ oluşundan, $ab+ba=0$ yani $ab=-ba$ bulunur. Ama yukarıdaki işlemden $-ba=ba$ olduğundan, $ab=ba$ elde edilir.

Answer 3

Varsayalım ki $a^2 = a \quad \forall a \in R$ sağlansın ve R değişmeli olmasın,

Dolayısıyla $\exists a,b \in R$ öyle ki $ab \neq ba \quad i.e \quad ab - ba \neq 0$ 

Şimdi, tanımdan dolayı,

$(ab)^2 = ab$  veya açık şekilde $(ab)(ab) = ab$ sağlanır.

Ayrıca,

$a^2 = a$  ve  $b^2 = b$ olduğu için de,

$(ab)(ab) = a^2b^2 \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) = (aa)(bb) \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) - (aa)(bb) = 0$

Dağılma özelliğiyle birlikte,

$a(bab - abb) = 0 \quad \Rightarrow  \quad a(ba - ab)b = 0$ 

$(ab - ba)b = y \quad y \neq 0 \in R$, çünkü  $ab - ba \neq 0$

Daha sonra da $y^2 = y$ olacağı için de,

$y(ab - ba)b = y^2 = y$   $y=a$ için, $a(ab - ba)b = a = 0$

Çelişki

 

Comments

Bu çözümde anlayamadığım iki nokta var:

Önce  $y=(ab-ba)b$ alınıyor. Sonra da $y=a$ için çelişki bulunuyor gibi geldi bana.

(Bir de $R$ nin sıfır böleni olmadığı varsayılıp $y\neq0$ olduğu öne sürülüyor ama hiç kullanılmıyor sanki)

---

Ben de anlayamadim.