Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (108 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

3 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğan hocam ilk çözüme yaptığınız yorum gayet doğrudur. Çözümde bir eksiklik var. Fakat sizin yaptığınız çözüm için halkanın birimli olması gerekmez. Yani sizin yaptığınız argüman birimsiz halkada da geçerlidir, şöyle ki: $(a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a=a+a$ olduğundan $a+a=0$ yani $a=-a$ $\forall a\in R$. Ve sonrasında $(a+b)^{2}=a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b$ ve burdan da $ab+ba=0$ $\Rightarrow$ $ab=-ba=ba$ $\forall a,b\in R$.
(108 puan) tarafından 
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Halka birim elemanlı iken kolay:

$\forall a\in R$ için $(1+a)^2=1+a+a+a^2=1+a+a+a=1+a$ oluşundan $\forall a\in R$ için $a+a=0$ yani ($\forall a\in R$ için) $a=-a$ bulunur.

Daha sonra da $\forall a,b\in R$ için $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b=a+b$ oluşundan, $ab+ba=0$ yani $ab=-ba$ bulunur. Ama yukarıdaki işlemden $-ba=ba$ olduğundan, $ab=ba$ elde edilir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Varsayalım ki $a^2 = a \quad \forall a \in R$ sağlansın ve R değişmeli olmasın,

Dolayısıyla $\exists a,b \in R$ öyle ki $ab \neq ba \quad i.e \quad ab - ba \neq 0$ 

Şimdi, tanımdan dolayı,

$(ab)^2 = ab$  veya açık şekilde $(ab)(ab) = ab$ sağlanır.

Ayrıca,

$a^2 = a$  ve  $b^2 = b$ olduğu için de,

$(ab)(ab) = a^2b^2 \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) = (aa)(bb) \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) - (aa)(bb) = 0$

Dağılma özelliğiyle birlikte,

$a(bab - abb) = 0 \quad \Rightarrow  \quad a(ba - ab)b = 0$ 

$(ab - ba)b = y \quad y \neq 0 \in R$, çünkü  $ab - ba \neq 0$

Daha sonra da $y^2 = y$ olacağı için de,

$y(ab - ba)b = y^2 = y$   $y=a$ için, $a(ab - ba)b = a = 0$

Çelişki

 

(20 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Bu çözümde anlayamadığım iki nokta var:

Önce  $y=(ab-ba)b$ alınıyor. Sonra da $y=a$ için çelişki bulunuyor gibi geldi bana.

(Bir de $R$ nin sıfır böleni olmadığı varsayılıp $y\neq0$ olduğu öne sürülüyor ama hiç kullanılmıyor sanki)

Ben de anlayamadim.

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,242 kullanıcı