Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
291 kez görüntülendi
$ab=1$ olduğunu yani $a$ nın tersinir olduğunu gösteriniz. 
Lisans Matematik kategorisinde (1.5k puan) tarafından  | 291 kez görüntülendi

Yanlış anlamadıysam b, a'nın sol tersi ise b'nin aynı zamanda a'nın sağ tersi olduğunu soruyorsunuz. 

Aynen öyle. 

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Sıfır olmayan her a için sıfırdan farklı bir b bulunduğunu ve ba = 1 olduğunu var sayalım. 

İlk olarak axa = a denklemini sağlayan tek bir x olduğunu gösterelim.

ba = 1 olduğundan, aba = a olur. Dolayısıyla b, axa = a denklemini sağlıyor. 

Diyelim ki başka bir t elemanı da axa = a denklemini sağlıyor. Bu durumda,

ata = a =>

bata = ba olur. ba = 1 olduğunu göz önüne alıp devam edersek,

(ba)ta = ba = 1, =>

ta = 1 olur. Varsayıma göre t yerine sadece b gelebilir. Dolayısıyla t = b'dir.

Demek ki axa = a denklemini sadece b sağlar. 

İspatı tamamlamak için bu halkada sıfır böleninin olmadığını göstermeliyiz önce. 

a'nın sıfırdan farklı olduğunu kabul edip ac = 0 ya da ca = 0 diyelim. Şimdi şu eşitliğe bakalım:

a(b+c)a = aba + aca 

Her iki durumda da (ac = 0 ya da ca = 0),

aba = a ve aca = 0 olur.

Dolayısıyla,

a(b+c)a = a olur.

Bu denklemi sadece b sağladığından (yukarıda ispatladık),

b + c = b  => c = 0. Demek ki bu halkada sıfır böleni yokmuş.

Geldik son darbeye...

Bulgularımız tekrar edersek, sıfırdan farklı her a için tek bir sıfırdan farklı b vardır ki,

aba = a olur.

Dolayısıyla aba - a = 0. Dağılma özelliğinden,

(ab - 1)a = 0. 

a'yı sıfırdan farklı düşündük ve bu halkada sıfır böleni yok. Demek ki

ab - 1 = 0  => ab = 1



(35 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$(ba)ta=ba=1$ ve buradan $ta=1$ yazdığınızda Sıfır bölensizliği kullanıyorsunuz ve sonrasında Sıfır Bölen olmadığını göstererek devam ediyorsunuz. Garip bir durum var!

ba = 1 olduğunu biliyoruz yukarıda... (ba)ta = ba denkleminden ta = 1'e sadeleştirme yaparak değil, 

ba = 1 olduğunu bilerek geçiyoruz... 

Evet doğru güzel bir çözüm olmuş. Teşekkür ediyorum. Bir de şuna bakarsanız: $(ab-1+b)a=1$ ve teklikten $ab=1$.  

$ac=0$ ise neden $ca=0$ olmak zorunda?

Sanırım "ya da" yazmam gerekiyor... Düzelteyim...

hoş bir ispat, eline sağlık.

18,157 soru
20,693 cevap
66,612 yorum
18,830 kullanıcı